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重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定
00000
|多項式f(x)はすべての実数xについてf(x+1)-f(x)=2x を満たし,f(0) =1
であるという。このとき, f(x) を求めよ。
[一橋大〕
基本 15
|指針
例えば、f(x)が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+c とおいて進めることが
できるが,この問題ではf(x) が何次式か不明である。
→f(x)はn次式であるとして,f(x)=ax+bx"-1 (0, n≧1) とおいて
進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ,右辺2xと比較するこ
とで次数nと係数 αを求める。
なお, f (x) = (定数) の場合は別に考えておく。
5
基本
11 恒
恒123条与比例
2条
3
f(x)=c(cは定数) とすると, f (0) =1から f(x)=1
解答 これはf(x+1)-f(x)=2x を満たさないから、不適。
よって、f(x)=ax+bxn1+...... (a≠0, n≧1) (*) とす
ると
この場合は,(*)に含ま
れないため、別に考えて
いる。
a
b
え
f(x+1)-f(x)
I+x=x
=a(x+1)"+6(x+1)"' + ...... -
=anxn-1+g(x)
...-(ax" + bxn−1 +......)
(x+1)*
=x+nCix-1+nCzx-2+...
解
のうち,
ただし,g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。
f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから, 最
高次の項を比較して
例
n-1=1
... D, an=2...... ・②
a(x+1)"-ax " の最高
次の項は anx-1 で 残
りの項はn-2次以下と
なる。
上
(a
①から
n=2
ゆえに、②から
a=1
<anx”と2xの次数と
係数を比較。
1
a+
このとき,f(x)=x2+bx+c と表される。
f(0)=1から c=1
SLED
またf(x+1)-f(x)=(x+1)+6(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよいが,
ゆ
=2x+6+1
比例
結果は同じ。
よって
2x+6+1=2x
すなわち
この等式はxについての恒等式であるから
b+1=0
係数比較法。
b=-1
したがって
f(x)=x-x+1
Ita
値が
また,
例
POINT 次数が不明の多項式は,n次と仮定して進めるのも有効
a
b
よ
f(x)は最高次の係数が1である多項式であり、正の定数a,bに対し,常に
③_21_f(x2)={f(x)-ax-b}(x2-x+2) が成り立っている
びα, bの値を求めよ。
