(1)
55 正の実数α と関数f(x)=x²-²(-2a≦x≦2a) がある. y=f(x)のグラフを
軸のまわりに回転させてできる形の容器に za (cm/秒)の割合で水を静かに注
ぐ､水を注ぎ始めてから容器がいっぱいになるまでの時間をT(秒)とする。 ただ
し、長さの単位はcm とする. 次の問いに答えよ.
(1) y=f(x)のグラフの概形を描け.
(2) 水面の高さがα² (cm) になったとき、容器中の水の体積をV cm²)とする.V
をaを用いて表せ.
(3) T をaを用いて表せ.
(4) 水を注ぎ始めてからt秒後の水面の高さをん (cm) とするんをaとtを用いて
表せ.ただし, 0<t<Tとする.
(5) 水を注ぎ始めてからt秒後の水面の上昇速度をv(cm/秒) とする. v をaとt
を用いて表せ.ただし, 0 <t<Tとする.
(九州工業大)
思考のひもとき
秒後の水面の高さをhcm とすると, 水面の上昇速度は
f(x)=|x-d²|=
であるから, y=f(x)のグラフは図1のようになる.
(2) 図2の斜線部分を軸のまわりに回転したときにでき
る立体の体積がVである.
0≦y≦d² のとき,y=|x-d | をxについて解くと
x²-a² = ±y kh x²=a²±y
:: x=± √a²±y
このとき, x=√d²-y, x2=√a^²+y とおくと,図2
を参照して
α2
dh
dt
V=nª*{(x₂)²-(x,)²}dy=^ [ª 2ydy
=x[x²]"²=,
=ла¹
第5章 積分法
[x2-d²(-2a≦x≦-aまたは a≦x≦2aのとき)
la²-x² (-a≦x≦aのとき)
(cm/秒)
VA
3a² y=f(x)
-2a-a
az
0 a 2a
図 1
Ay
a²
V
0 a
X1X2
図2
2a
x
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積分法
