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基本 例題78 2直線の平行·垂直 一致の栄衆件
のは、a=コの
0, x+(a+1)y-a-3=0
2直線 ax+2y-a=0
とき垂直に交わる。また, a={□のとき, 2直線①, ②は共有点をもたず、
p.123 基本事項5, g)
a= 口のとき、 2直線①, ②は一致する。
指針>2直線の傾きを求めて考えてもよいが, 係数に文字定数aを含むので処理が面倒
そこで、2直線ax+by+c;=0, ax+bay+cz=01について
2直線が平行→ a,b:-a:b;=0 (平行条件)
2直線が垂直→ a,a:+b,b;=0 (垂直条件)」
を利用する。ただし,平行条件には2直線が一致する場合も含めていることに注意。
(),(ウ) 平行条件を満たすaの値を求め,その aの値について, 2直線が一致するか 取に
で一致しない(共有点をもたない)かを調べる。
解答
2直線の,のが垂直であるための条件は
4のは y=ー
a-1+2(a+1)=0 すなわち 3a+2=0
のは aキー1のとき
これを解いて
1
ソ=ー
a+3
a= -
次に,2直線の, ②が平行(一致も含む)であるための条件は
a=-1のとき x=2
ala+1)-2-1=0 すなわち α'+a-2=0
(a-1)(a+2)=0
(傾きの積)=-1 を利用し
て解くときは、aキー1,
a=-1の場合に分けて考
えなければならない。
ゆえに
よって
a=1, -2
a=1のとき
のは
よって,a=1のとき, 2直線①, ②は平行で一致しないか
ら,共有点をもたない。
a=-2のとき
のは
のは
よって,a=-2のとき, 2直線O, ② は一致する。
x+2y-1=0,
のは
x+2y-4=0
x+2y-1=0 と
x+2y-4=0 を同時に満た
すx,yの値は存在しない。
-2x+2y+2=0 すなわち xーyー1=0
xーyー1=0
4Dとのは同じ方程式。
したがって
イ1, ウー2
検討)2直線の一致条件
b. Cu Qs, bz, Caがいずれも0でないとき,2回旦稼 a,x十0y+c\=0, a>x+16ay+o1の
致条件は a,: b,: c=a:: b:: c:である。
ただし、これは係数に0を含まない場合に成り立つから, 例題の(ウ)で,この一致条件を使うと
きは、係数が0の場合を別に考えなければならない。
練習
直線(a-1)x-4y+2=0と直線x+(a-5)y+3=0は
