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等比数列の一般項
例題 9
次の等比数列の一般項を求めよ。ただし、(②)の数列の公比は実!
は実数とす。
第5項が4
******
(1) -3, 6, -12,
(3) 第2項が6, 第5項が162
HART & SOLUTION
等比数列 まず初項αと公比r
初項a,公比rの等比数列{an}の一般項は α = arn-1
(3) 初項をa, 公比をrとして, 与えられた2つの条件からα, rの連立方程式を導く。
ゆえに
64 (1/2)^
解答
(1) 初項が -3,公比がすなわち2である。
ゆえに, 一般項は
an=-3(-2)-1-3(-2)^-1=(−6
(2) この数列の初項をaとすると, 第5項が4であるからとしないように注意!
a(2) * = 4
an=640
a=64
My
2"-1-27-n)
よって, 一般項は
(3) この数列の初項をa,公比をrとすると
ar=-6...... ①, ar=162
a=2
|n-1 26
②から
arr3=162
これに ① を代入して6・3=162
ゆえに
3=-27
rは実数であるから
y=-3-
① に代入して
a.(-3)=-6
よって
ゆえに, 一般項は
an=2(-3)-1
inf. r"=p" については,次のことが成り立つ。
www//
20
SYNES
WTAP
2
(3) 第2項が6, 第6項が のとき,一般項
27
p.365 基本事項
(6)
PRACTICE 9º
次の等比数列で、公比は実数とする。 指定されたものを求めよ。
(1) 初項が-128, 第6項が4のとき,公比
(2) 第3項が72, 第6項が243のとき, 初項と公比
642であるから、
64 (1)
はどの形に
形できる。
nが奇数のと r"=p" (p は実数
⇔r=p
nが偶数のとき r"=p" (p≧0) ⇒r=±p 24-1.
本 例題
10
等比数列をなす3数(等比中)
数列 a,b,cが等比数列であるとき、a,b,cの値を求めよ。
3つの実数a, b, c に対して, a+b+c=39, abc=1000 とする。
27から
+33 = 0 ゆえに
(r+3)(x²-3r+9)=
よって y=-3,
1|2p²-3r+9=00
ここでを満たす実数
は存在しない 。
CHART & SOLUTION
等比数列 a,b,c の扱い (a,b,cは0ではない)
r
b2=ac を利用
2
公比をとしてa, b=ar,c=ar²
を参照。
この例題では2の方針(等比中項の性質の利用) の方がスムーズ。 1の
= 2 ×
2"-1
20x 2 (1-1)
2
解答
a+b+c=39 … ①, abc=1000･･ ② とする。
bac ...... ③
6-h+/
ワール
数列α, b,cが等比数列であるから
②③ から
bは実数であるから
このとき、①から
また、②から
6³=1000
6=10
a+c=29
ac=100
よって, a, cは方程式x29x+100=0 の2つの解で
x2-29x+100=0 を解いて
ゆえに
よって
別解
と
x=4,25
(a, c)=(4, 25), (25, 4)
$501s (a, b, c)=(4, 10, 25), (25,
abc 0 から公比r=0であり, b=ar,c=ar²
a+ar+ar²=39
(4)
3.7.17.
④から
aarsar²=1000
a(1+r+r²)=39
⑤から
a³r³=1000
ar (=b) は実数であるから
⑥ の両辺にを掛けると
⑦ を代入して整理すると
よって
(2r-5)(5r-2)=0
5
x=2のときa=4
よって
6
ar=10 ......
ar(1+r+r²³)
10r²-29r+
(a, b, c)=(4, 10, 25), (25
PRACTICE 10 ③
異なる3つの数 6, x, 2x-6がある順
を求めよ。
