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292
例題
解答
漸化式 an+1= pan+f(n) (p≠1)
t
a = 3, an+1=3an+2n+3 で定義される数列{an}の一般項an を求めよ.
考え方 解答 1 漸化式 an+1=3an+2n+3 において, nを1つ先に進めて an+2 と an+1 に関す
ある関係式を作り,引いて, {an+1-an} に関する漸化式を導く.
解答2 an に加える(または引く)nの1次式n+g を決定することにより,
{an+pn+g}が等比数列になるようにする.
CA
an+1=3an+2n+3
・①より、
an+2=3an+1+2(n+1)+3 ......2
練習
1203
漸化式と数学的帰納法
②-①より,
bn=an+1-an とおくと,
bn+1=36n+2,
an+2an+1=3(an+1-an) +2 #JAJCG) #4
n≧2のとき,
n-1
より、 bn+1+1=3(6n+1),
61+1=12
8+²+.
したがって,数列{6n+1} は初項12,公比3の等比数列
だから,
b=a2-α=3a+2+3-a=11① より
n-1
an= a₁ + Σbr=3+Σ(4·3²-1)=3+₁
COND k=1
k=1
bn+1=12.3-1=4.3n bn 4.3"-1 ε+as+|α==1
12 (3-1-1)
3-1
-(n-1)
=6.3"-1-n-2=2・3"-n-2
n=1 のとき, a=2･3'-1-2=3より成り立つ.tat
よって, an=23" n-2 ることができる
解答2p,g を定数とし, an+1+(n+1)+g=3 (anton+g)とおくと
②は①のnにn+1
を代入したもの
差を作り, n を消去
する
**
az=3a1+2+3=14
α=3a+2 より,
+ms+8=
3
a=-n- となる. これより, an+1+n+
2 + 2 = 3 (a₁ +n + ²)
2
12・3"-1=4・3・3n-1
=4·3n
6・37-1=2・3・3″-1
= 2.3"
n=1のときを確認
=2
さ
注》例題 291 (p.515) のように例題 292 でも特性方程式を使うと,α=3a+2n+3 より,
STAILI 3
3¹
2
an+1=3an+2pn+2g-p
an+1+pn+p+α
もとの漸化式と比較して, 2p = 2,2g-p=3より, p=1,g=2 =3an+3p+3g よ
したがって, an+1+(n+1)+2=3(an+n+2), a +1+2=6 り, an+1=3an+2pn
より,数列{an+n+2} は初項 6,公比3の等比数列
+2g-p
a₁=3
よって, an+n+2=6・3"-=2･3" より, an=2.3"-n-2 a
Focus!T>AT
階差数列を利用して考える
517
第8
順番になっていない
イト
。
といと変形できるが、等比数列を表していないので,このことを用いることはできない。 注
意しよう.(p.518 Column 参照)
2014-07
Ⓒp+10305
533) (TH)4
Jc33>83 0-0-
a1=2, an+1=2an-2n+1 (n=1,2, 3, .....)
によって定められる数列{an}
