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2
次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び, その記号をマーク解答用紙 (省略) にマーク
せよ.ただし, 同じ記号を2度以上用いてもよい。
(20点)
コインを繰り返し投げ, 連続した3回が順に, 表裏→表, あるいは, 裏→表裏というパター
ンが出たときにコイン投げを終了する. n ≧ 3 に対し, コインをちょうどn回投げて終了する確率をpn
とする. 以下の手順により pm を求める.
コインをn回投げて 「まだ終了していないがn+1回目に表が出たら終了する」 または「まだ終了して
いないがn+1回目に裏が出たら終了する」 という状態にある確率をrm とする. また, コインを回投
げて「まだ終了しておらず, n +1回目に表が出ても裏が出ても終了しない」 という状態にある確率を
ケ である. ここでrn+1 と
Sn+1
sn とする.このとき, r3 = 1; $3=$r4= 1/₁ S4=
をrn, Snを用いて表すと, それぞれ
n+1=
Sn+1=
となる.これらによりsの3項間の漸化式が得られる.
この3項間の漸化式は,α <βとして
$n+2asn+1=β(Sn+1 - asn), Sn+2
βSn+1=Q(Sn+1-β8n)
の形で表すことができる. このα, βはそれぞれα=シ,β=ス である. 上の第1式を計
算すると
Sn+2asn+1= セ
ソ
n-23
となる. 第2式についても同様に計算し, これらを連立して解くと, Snの一般項が
Sn = (nan) (n ≥3)
となることがわかる. よって P の一般項は
となる.
問題2 のク,ケの解答群
b
問題2 のコサの解答群
-Tn
問題2のシス,セの解答群
e
@ 1-2√5 6 1+√5 Ⓒ 1-√5
b
2
4
2-√2+√5
4
2-√5
8
3
⑥/1/28 ⑥/1/2rn+1/28 ⑩ 1/1rn+1/28 2/1rn + 1/28
™n Sn @
Sn
4
2+√5
(i)
8
@ 4-VB ⑩ 4+ v
√5
(m
n
8
8
問題2のソの解答群
Ⓒ 1 + √5
2
√5
n-1
n
問題2 のタ,チの解答群
V5
①2V5
① 1 +2√5
(5)
Pn= チ (βn-2-an-2)(≧3)
1
2√5
Ⓡ 1-2√/5
4
Ⓡ1-2√5
水
8
n+1 d n+2
サ
(k
1
4√5
h
(
Ⓒ 1-4√³ @ 1+4√³
P
8
8
Sn
@ 1+√5
4
1+2√/5
4
1+2√5
8
4
1+ √5]
2
