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重要 例題 57 級数で表された関数のグラフの連続性
x
x
x
無限級数 x+ 1+x (1+x)2
+
++
について
(1+x)-1
00000
(1)この無限級数が収束するようなxの値の範囲を求めよ。
(2)xが(1)の範囲にあるとき,この無限級数の和を f(x) とする。 関数
y=f(x) のグラフをかき, その連続性について調べよ。
a=0 または |r|<1
基本 36,56
指針 無限等比級数atar +are +.....の収束条件は
a
収束するとき, 和は
a = 0 なら 0, αキ 0 なら
1-r
(2)まず, f(x) を求める。 次に, グラフをかいて,連続性を調べる。
なお,関数 y=f(x)の定義域は,この無限級数が収束するようなxの値の範囲[(1)
で求めた範囲] である。
(1)この無限級数は,初項 x, 公
解答
比 の無限等比級数である。
1+x
収束するための条件はx=0
■ ( 初項) = 0
↓では
・1 O
x
または-1<x<1
...
①
-1<(公比)<1 ない!
・1
不等式① の解は, 右の図から
x<-2,0<x
1
<y=
1
1+x
のグラフと
y=
1+x
よって, 求めるxの値の範囲は
x<-2,0≦x
(2) 和について x=0のとき
f(x)=0
x<-2,0<xのとき
直線 y= 1, y=-1の上
下関係に注目して解く。
なお, ① の各辺に
(1+x) (0) を掛けた
-(1+x)²<1+x<(1+x)²
を解いてもよい。
(初)
1 - (公比)
-2-10-(mil
y=1+x
x
連続性は定義域で考える
ことに注意。 −2≦x<0
f(x)は定義されない
から,この範囲で連続性
を調べても無意味である
x
f(x)=
=1+x
1.
1-
1+x
関数 y=f(x)の定義域は
0
x<-2,0≦xで, グラフは右
の図のようになる。
よって
x<-2,0<xで連続; x=0で不連続
練習 次の無限級数が収市す
91-2はちがうのか?
f(r)のグラス
