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ベクトルの大きさの最小値など
基本 例題49
(1)=(2, 1, 1), =(1, 2, -1) とする。ベクトルa+thの大きされ。
なるときの実数tの値と, そのときの大きさを求めよ。
が最介代。
(2) 定点A(2, 0, 3), B(1, 2, 1)と,xy 平面上を動く点Pに対し、AP+Pg
基本9,数学口重型打
の最小値を求めよ。
SS
la+t5Pはtの2次式 になるから,基本形 a(t-p)+qに直す。
(2) 平面上では,O 折れ線の最小 対称点をとって1本の線分にのばす
に従い,右の図のようにして
AP+PB=AP+PB'2AP.+P.B’=AB’
から,折れ線 AP+PB の最小値は AB'であるとして求めた。
空間においても同様の考え方で求められる。
指針> (1)O は万部として扱う に従い,la+tbPの最小値を調べる。
A。
解答
4p.397 基本例題9と同じ頃
(1) a+t5=(2, 1, 1)+t(1, 2, -1)= (2+t, 1+2t, 1-1)
a+5f=(2+)?+(1+20)°+(1-)°
領の解答。
ゆえに
9
9+19+z79>
+)9=9+79+9=
=6(2+t)+6
よって,G+t5fは=-のとき最小となり,
a+520であるからà+t5|もこのとき最小になる。
t=-;のとき最小値
参 a+t5が最小になる
のは,a+5」5のときであ
る。p.397 参照。
9
3
したがって
V2
2
(2) xy 平面に関してAとBは同じ
側にある。
そこで,xy 平面に関して点Bと対
称な点をB’とすると B'(1, 2, -1)
(z座標がともに正であるか。
ら。この断りは必要。
Z4
検討」
「2点間の最短経路は,2
結ぶ線分である。」
(2)ではこのことを利用する。
0B.
であり,PB=PB’であるから
AP+PB=AP+PB'2AB'
よって,Pとして直線 AB'と xy 平
面の交点 P。をとると AP+PB は最
小となり,最小値は
AB'=(1-2)+(2-0)°+(-1-3)° =、21
VB
P。
)となる。
