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重要 例題 113 漸化式と極限 (5) ・･･はさみうちの原理
数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, ......)
を満たすとき
(2) 3an+1 <1/13 (3-an) を証明せよ。
(1) 0<a<3を証明せよ。
[類 神戸大]
p.174 基本事項 3 基本105
(3) 数列{an} の極限値を求めよ。
TIL
指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す数学的帰納法の利用。
(3) 漸化式を変形して, 一般項 αn をnの式で表すのは難しい。 そこで, (2) で示した不等
(2) (1) の結果,すなわちa> 0,3a, >0であることを利用。
式を利用し、はさみうちの原理を使って数列{3-an} の極限を求める。
はさみうちの原理 すべてのnについて nann のとき
liman =α
818
limp=limgn=α ならば
818
318
なお, 次ページの補足事項も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
解答
数学的帰納法による。
(1) 0<an<3
①とする｡
<0<a<3
[1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3
n=k+1のときを考えると, 0<a<3であるから
ak+1=1+√1+αk >2> 0
0<a から √1+x >1
37(1-) //12
ak+1=1+√1+αk <1+√1+3=3
10万 <3 から √1+αk < 2
したがって
0<ak+1 <3
よって,n=k+1のときにも ① は成り立つ。
[1], [2] から,すべての自然数nについて ① は成り立つ。
1
(2) 3-an+1=2-√1+an
3-an 70
2+√/1 + a₂ < (3-an)
13-an>0であり, an> 0か
(3) (1), (2) から 03-ams (1/2)^(3-11)
\n-1
ら 2+√1+an> 3
0<3-an≤
(3-α₁)
n-1
n≧2のとき, (2) から
(13) (3-a) = 0 であるから
3-an<-(3-an-1)
lim(3-an)=0
7218
liman=3
<(1/2)(3)
118
n-1
-.-...< (+ / -) ² - ² (3-a₁)
したがって
