(1) 実数 a, bがa>0, b>0, ab=6を満たすとき, 3a+86の最小値は
]である。
2
(2) x+2x+
2
+2 は, x=7|
x+2
]のとき, 最小値イ
]をとる。ただし, x>0と
x
(3) x>0, y>0, >0とする。
1
2
3
のとき,x+2y+3zの最小値を求めよ。
(1), (3) 神奈
X
y
る
1
2
(3)(x+2y+3z)(-+
3
x
y
x
2
y
x
る
=14+20
x
y
y
x
++-から
エ+2y+3=-414+2(+)+年+)+(+)
1
2
3
4
x>0, y>0, z>0であるから,(相加平均)2(相乗平均)により
2+ー22,
=2, る+ジと
=2,
y
*+る2,
=2
る
x
2 x
この3つの不等式の等号は,それぞれと
x-2のとき成立するから,x=y=z のときすべての等号が
x
2
そx=y=zとx>0,
y>0, z>0から
x
y
y
之
x
x=y=z
成立する。
1
このとき、
2
3
1
6
1
3
テ*ーから -
1
そ
x
x
y
4
4
4
X
X
x
よって
x=y=z=24
したがって,x+2y+3z は,x=y=z=24 のとき最小値
24+2-24+3-24=144 をとる。
別解 x>0, y>0, z>0 であるから,コーシー·シュワルツの|←(a?+6°+c°)
×(x?+y°+z?)
2(ax+by+cz)°
等号成立は,ay= bx,
bz=cy, cx=azのとき。
不等式により
{(Vx)+((2y)+((3z)}
2( +2y
3
+V3z
y
Vx
2
すなわち(+2+3(++)(1+2+3"
y
よって
(x+2y+3z)-
26°
ゆえに
x+2y+3z2144
1
等号は,/x:2y:/32
2
3
そこれから x=y=z
X
Vy
Vz
1
かつ
2
3
1
三
y
2
4
すなわち,x=y=z=24 のとき成り立つ。
したがって,求める最小値は 144
