黄色チャートの問題で、 (1+x)^6(2+x)^6 を展開した時のx³の項の係数を求めよ が解説を見ても分かりません、、 分かりやすく解説をお願いします🙇🏻‍♀️՞

第1章 式と証明 ・27 EX (2+x)を展開したときの x^ の項の係数と, (1+x) (2+x)を展開したときのxの項の係数 3 を求めよ。 (2+x) の展開式における x4 の項は [関西学院大〕 +0≤q≤6 6C4.22x4 よって, x4 の項の係数は 6C4・22=6C2・22=60 (1+x) の展開式の一般項は 6Cp.16-Px=6Cpx +0≤p≤6 (2+x) の展開式の一般項は 6C9.26-9x9 (04) ゆえに,(1+x)(2+x) の展開式の一般項は Cpx×6Cg・26-x=6CpX6C,・26-9xp+g ( p+g=3 とおくと (p, q)=(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0) 9 したがって,x の項の係数は (1+x)(2+x) の展開 式の一般項は,(1+x), (2+x)の一般項の積。 p+q=3, 0≤p≤6, 6を満たす整数 6CoXsC3•2°+6C1×6C2・24+6C2×6C1•25+6C3X6Co.26 の組(b,g) を求める。 =160+1440+2880 +1280 =5760 次の等式が成り立つことを証明せよ。 350 Co+27C2+27+2 C2=2C1+2C3 +275+....+2nC2η-1=22n-1 項定理により (1+x)2n=2nCo+2nix+2n2x2+2nC3x3+...... +2nC2n-1x27-1+2nC2nx2n ① に x=1 を代入すると 22n=2nCo+2nC1+2nC2+2nC3+････ +2nCzn-1+2nC2n .... ② こ x=-1 を代入すると X3 ac 0=2nCo+2mC1(-1)+2nCz(−1)2+2nCs(-1)+...... +2C2-1 (−1)2月-1+2nCzn(-1)2月 =2nCo-2nC1+2nC2-2nC3 +27C4+・・・・・・ -2n C2-1+2nCzn がって 2n Co+2nC2+2nCa+ •+2nCzn 2n Crのrが偶数のと きと奇数のときで符号が 異なってでてくるように, x=-1 を代入。 1つ目のイコールが示 =2nC1+2nC3+2nC5+ ..+2nC2n-1 ③ せた。 3 から 22n=(2nCo+2nC2+2 Cat.+」 Dett

xⁿを微分すると（xⁿ）'=nxⁿ⁻¹と表すことが出来る。 についてです。これの証明をする際二項定理を用いるのですが、最後にₙC₁ xⁿ⁻¹=nxⁿ⁻¹なる理由が分かりません。 詳しく教えて頂けると嬉しいです。

画像の問題について教えてください。 一枚目の(2)が問題、二枚目が解説なのですが、解説2〜4行目あたりが理解できず困っています。 解説に補足などを加えてわかりやすく説明していただけると幸いです。

1) Co²+C₁²+C₂ ²+nC3²++nCn²=2nCn n 2) 2≤n, r=1, 2, ., -1, Cr=n-Cr+n-1C-1 n-1のとき

（1）の解き方を教えて欲しいです。

□ 12 (1+x)" を二項定理を用いて展開した式を利用して,次の等式が成り立つこと を証明せよ。 *(1) nCo+2C1+2 C2++2"Cn=3" (2) n Co- nC1 nC2 -+- n „C₁- "C₁ "C² +(-1). "C-()" 22 = 2

式と証明 （2）の問題で最終的に（画像二枚目）係数を全て足しているのはなぜですか？教えてください😭

基本 例題 3 多項展開式とその係数(1) 次の式の展開式における,[ ]内に指定された項の係数を求めよ。 (1)(x+2y+3z) [xyz] 武蔵大] (2)(1+x+x2) [x*] 8 [愛知学院大 ] p.16 基本事項 1 指針二項定理を2回用いる方針でも求められるが,多項定理を利用して求めてみよう。 1 章

青チャート例題5(1)の解説お願いします。 指針の言ってることは何となくわかりますが、問題の式からどう変換されてるのかわかりません

基本 例題 5 二項係数と等式の証明 ①①① (1)km=nn-1C- (n≧2, k=1,2, ....... n) が成り立つことを証明せよ。 knCk=nniCk (n≧2,k=1,2, (2) (1+x)" の展開式を利用して、 次の等式を証明せよ。 (ア) Co+mi+nC2++Cr+......+nCn=2" (イ) Co-Ci+mC2-+(-1)',Cy+......+(-1)"Cn=0 (ウ) Co-2ヵC+22„C2+(-2)",C+....+(-2)”nCn=(-1)" p.11 基本事項 4 n! 指針▷ (1) C= r!(n-r)! を利用して, knCk, nn-Ck-1 をそれぞれ変形する。 (2) (p.11 基本事項 4)において, a=1,b=x とおくと 二項定理 (1+x)"="Co+nCx+nCzx+......Cx+......+nCnx" 等式① と, 与式の左辺を比べることにより、①の両辺でx=1とおけばよいことに気 づく。 同様にして、(イ), (ウ)ではxに何を代入するかを考える。 に変形 解答 n! (1) kCk=k (n-1)! =n(k-1)!(n-k)! k!(n-k)! nn-1Ck-1=n.(k-1)!{(n-1)-(k-1)}! したがって 100n!=n(n-1)! (n-1)! (n-1)! =n° (k-1)!(n-k)! knCk=nn-1Ck-1 L すべてのの値に対して成り立つ。

矢印のところの式の変形が分かりません。 解説をお願いします🙇‍♀️

8/7+ 〈例題31> (1) (a + 1) の展開式を求めてください。 (2)(1)を用いて, 6-1は5の倍数であることを示してください. i+1 (3) 任意の自然数nに対して, 「65-1 は 5" の倍数である」 が成立することを数学的帰 納法を用いて証明してください。 (1) (a+1) 5 =sCoa°+sCia'+6Cza+sCa2+5C,a +55 1 = a+5a+10a³+10a²+5a+1 二項定理 (a+b)"=„C₁a"+C₁a”¯¹b+„C₂a” -Ca*** +...+C₂ b (2)65-1= (5+1)-1 =55+5・5+10・5°+10・52+5・5+1 -1 =5°(5+5°+10・5+10+1) よって65-1 は 52 の倍数である. (3)65-1は5+1 の倍数であることを数学的帰納法で示す. n=1のとき61は(2)の結果より 5の倍数である. よって成立する. n=kのとき65-1=5+1l (lは整数) が成立すると仮定する. 65+1_1654.5-1 = (5*+1+1)5-11 (5+15+5(5+11)+10(5+1)+10(5+11)2+5(5k+1) +1-1 =5k+2(54k+35+53k+34+10.52k+13+10.5ki2+L) n=k+1のとき成立する. よって、数学的帰納法より, すべての自然数nに対して, 「65-1は5+1 の倍数である」ことは成立する. -80-

(3)のマーカーしてある部分がなぜそうなるのか分かりません。教えていただきたいです。

6 第6章 場合の数 301 Step Up お互いに身長の異なる8人を, 山の形に整列させる. i番目に並ぶ人の身長をん とし 一 番高い人をん (2≦k≦7) 番目に配置することにすると,これを数式で表記すれば、 h₁<h₂<<hr hr>...> he である. このとき, 以下の問いに答えよ. ただし, "Co+m+,C2+....+,C=2" が成 り立つことを用いてもよい。 (1) k=3 となる並べ方は何通りあるか答えよ. (2) 2≦k≦7 に対して, 並べ方は全部で何通りあるか答えよ. (3)n(n≧3)人を同様に整列させるとき, 2≦k≦n-1 に対して, 並べ方は全部で何通り あるか答えよ. 8人を身長の低い順に, 1, 2, 3, ..., 7, ⑧とする. (1) k=3 というのは、3番目に⑧がきていて, となる場合である. をみると 左の2つの△△は、7人から2人を選び,身長の低い 順に並べて、右の5つの□□□□□は、残りの5人を身 長の高い順に並べるので, C2=21(通り) (2) たとえば,k=2のときだと, 1AO で、△は7人から1人を選び, 6つの□には身長の高い 順に並べるから、 C7(通り) というようになっている. したがって,まとめると, k=2,3,4,5,6,7 に対し ⑧の左の△のところに, 7人から1人、2人,3人, 4人,5人,6人を選び, 身長の低い順に並べることにな あるので, 7C1+7C2+7C3+7C4+7C5+7C6 △△に入れる2人を選べば、 条件を満たす並べ方は1通り に決まる。 太 章末問題 &&& 同人) 6 (表)の通り ST(S) ={7C0+(7C1+7C2++7C6)+7C7}-(7C0+7C7) 3)=2'-2 KnCo+nCi+....+nCn=2" を 2乘出る利用。なお,この等式は、数 126 (通り) (高液る食 器 (3)人を身長の低い順に, ① ② ③, ... (2)と同様に,たとえば, k=2のときだと で,これは, (n-2)人 k=3のときだと, 棚の持ち とする 学で学習する二項定理を用 いて導くことができる。 (U) 0-0x2=1 (通り) 次の確率を求め、島 (n-1) 人から を除く 歌中1人を選ぶ。 以 △△□□□ 「目の出方は全部(n-3) 人 で,これは, n-1 (通り) したがって, 並べ方は全部で, n-Ci+n-1C2+n-1C3 ++n-1Cn-2 =-Cot-Ci+n-Cotto - Cn-2) +-- 2-1-2 (通り) △△に⑦を除く (n-1) 人か ら2人を選び, 身長の低い順 に並べる. —(n-Cotn-Cn-i) | Yeti のり

高校数B　数列です 黄色のマーカーで引いた部分の式変形がわかりません。k＝1だからΣckは第一項を含まなければいけないと思うのですがこのc1はなぜ引くのですか？

20:11 8月5日 (月) k=1 pos.toshin.com 2-1 =18(2-1)⑤ (cm)-2(-2) k=1 ・スセソ @ 11% [ ● pos.toshin.com 数列{Cn} を Cn=anbn (n=1,2, 3, ･･････) で定める。 = = " N!! n Ck+1-22Ck -2 k=1 n Cn+1)−2 ½ Ck Σ Ck-C₁+Cn+1 k=1 == Σ Ck - C₁+Cn+1 ··(6 k=1 x を実数とする。 数列 { Cn+1-πCm} が等比数列になるのはx= シ のと きであり,このとき (Ck+1-xCk) = 7t ソ '-1)(n=1, 2, 3, ………) k=1 である。 これを用いると Ac= n タ n- チ ツ + テ (n = 1, 2, 3, ...) k=1 であることがわかる。さらに,ck が9の倍数となるような自然数nのうち, である。 よって, ⑤ ⑥より -2Ck-C1+Cm+1=18(2"-1) k=1 が成り立ち, n 2Ck=-C1+Cn+1-18(2"-1) k=1 =-12+3(3n+4)・2"-18(2"-1) =(9n-6)·2"+6 k=1 CK Σck=9.2"-3.2(2-1) であるから,これが9=32 で割り切れるのは, 2-1が3の倍数のとき. ・タ〜テ すなわち, 2”を3で割った余りが1 となるときである。 二項定理を用いると, 2"={3+(-1)}" = "Co・3"+C1・3-1.(-1)+C2・3"-2.(-1) 2 +... + Cm-1・3・(-1)"'+C (-1)" k=1 小さい方から10番目のものはトナである。

この０<はどこから来てるんですか？n^2/2^nの最小値ならnに4を代入した1じゃないんですか？どうして1<=にしないんですか？

28 — 数学Ⅲ 第3 分数型) と極限 PR nは4以上の整数とする。 ③20 不等式 (1+h)" >1+nh+ n(n-1) h²+ 2 6 2" (1) lim (2) lim n2 ugu n-8 22 与えられた不等式において,h=1 とすると 2">1+n+ n(n-1) n(n-1)(n-2) 2 6 n(n-1) (1) ①から 2"> 2 2nn-1 両辺をnで割ると ここだけでた。 n 2 n-1 lim 2 =∞ であるから (2) ①から 2"> n(n-1)(n-2) mil 2n lim =8 n→ ∞ n n(n-1)(n-2) (h>0)を用いて,次の極限を求めよ。 binf. 与えられた不等式 (1+h)=2 T=0 inCh (二項定理)から得られる。 mil n>0であるから不等 号の向きは変わらない。 an>bnで limb = 0012 ならば liman=8 110 (2) で定められ PR 21 6 Vie <a>6>0のとき 1 6 両辺の逆数をとると 2n n(n-1)(x-2) 2 'n' 6m² 両辺に n' を掛けると 22 n² 6n よって 2n n2-3n+2 2n n(n-1)(n-2) a 言 20 であるから不等 号の向きは変わらない。 (n-1)(n-2) =n2-3n+2 G 6n ここで, lim =lim n→ ∞ n²-3n+2 n→∞ 6 n 3 2 + take (1) n -= 0 であるから n² lim n→∞ n² 2n 2 = 0 はさみうちの原理 a a1=2, an+1= 5an-6 2an-3 (n=1, 2, 3, ･･･) で定められる数列{an} について (1)6m= an-1 an-3 とおくとき,数列{bm} の一般項を求めよ。 (2)一般項 αと極限 liman を求めよ。 n→∞ 5an-6 Lint. 1 liman = α と仮定 (1) bn+1= an+1-1 2an-3 an+1-3 5an-6 1218 5an-6-(2an-3) すると, lim 2 5an-6-32a