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あった。ここでは
考える方針は変わ
Dとする。
である。
しかし､道
じである。
基本例題 128 2次方程式の解と数の大小 (1)
2次方程式x2-2(a+1)x+3a=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数解を
もつような定数aの値の範囲を求めよ。
基本 126 127
[類 東北大〕
重要 130
指針 2次方程式f(x)=0の解と数の大小については, y=f(x)のグラフとx軸の共有点の
位置関係を考えることで,基本例題 126, 127で学習した方法が使える。
すなわち, f(x)=x²-2(α+1)x+3aとして
解答
2次方程式f(x)=0が-1≦x≦3で異なる2つの実数解をもつ
⇔放物線y=f(x)がx軸の1≦x≦3の部分と、 異なる2点で交わる
したがってD>0, -1<(軸の位置) <3, f(-1)≧0,(3)≧0で解決。
CHART 2次方程式の解と数の大小 グラフ利用 D, 軸、f(h)に白
この方程式の判別式をDとし, f(x)=x2-2(a+1)x+3a
とする。 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で, その軸は
直線x=a+1である。
方程式 f(x)=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数
解をもつための条件は, y=f(x) のグラフがx軸の
-1≦x≦3の部分と、 異なる2点で交わることである。
すなわち,次の [1]~[4] が同時に成り立つことである。
[1] D>0
[2] 軸が-1<x<3の範囲にある
[3] f(-1)≧0 [4] f(3)≧0
[1] 1/4={-(a+1)^-1・3a=d-a+1=(a-1/21) 2
+
よって, D>0は常に成り立つ。
[2] 軸x=a+1について -1<a+1<3
すなわち -2 <a<2
[3] f(-1) 20 から
ゆえに
[4] f(3)
ゆえに
すなわち a≦1 ......
①,②,③の共通範囲を求めて
......
3
4
(−1)²-2(a+1).(-1)+3a≥0
3
5a+3≧0 すなわちa≧-
5
から 32−2(a+1)・3+3a ≧0
-3a+3≧0
3
指針」 ★の方針。
2次方程式についての問
題 2次関数のグラフ
におき換えて考える。
この問題では, D の符号,
軸の位置だけでなく,区
間の両端の値f(-1),
f (3) の符号についての
条件も必要となる。
+
≤a≤1
注意 [1] の(*)のように,αの値に関係なく、常に成り立つ条件もある。
-1 < (軸) <3
YA
0
a+1
1+
3
211
練習 2次方程式 2x²ax+α-1=0が-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつ
9128 ような定数の値の範囲を求め上
