整数を中心にして
割り算も可能であるが、基本的にはできないという認識が安全)
文系
数学の必勝ポイント-
合同式
① 余りに関する議論を行うときに有効
② 合同式では両辺を割る操作はできないことに注意する
16 整数のグループ分け
を奇数とする. 次の問に答えよ.
(1)
ー1は8の倍数であることを証明せよ。
(2)
は3の倍数であることを証明せよ.
(3)
は120の倍数であることを証明せよ。
(千葉大)
(解答
(1) は奇数であるから, n=2k+1(kは整数) とおける. このとき,
-1=(2k+1)-14k+4k=4k(k+1)
...①
①において, k, k+1は連続する2つの整数なので,どちらかは偶数である.
よって, k(k+1) は2の倍数なので, 4k (k+1) は8の倍数である.
したがって,-1は8の倍数である。
(2)を因数分解して変形すると、
n³-n=n(n-1)=n(m²−1)(m²+1)
3
=(n-1)n(n+1) (n2+1)
一般に、
②
連続2整数の積は
...③
③において, n-1,n+1 は連続する3つの整数なので、
n-1,n,n+1のいずれか1つは3の倍数
である. したがって,nnは3の倍数である.
2の倍数
連続3 整数の積は
6 の倍数
である
8の倍数である.さらに
は-1を因数にもつから,(1)より,
よって、
は3の倍数であるから,は24の倍数である.
が5の倍数であること
(3) ②より
より
を示せば - は 120の倍数であることになるから, (*) を示す.
...(*)
36
ここで, nは,整数を用いて,n=5k,
5k+1, 5k+2, 5k+3.5k+4の5
に表すことができるので、5つの場合に分けて (*) を示す.
=5kのときwwが5の倍数であることは明らか。
(イ)=5k+1のとき、
1=5k となり、これが5の倍数なので、 ③からは5の倍数である。
