-
![]()
354
|基本例題 223 係数に文字を含む3次関数の最大・最小
αを正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax2+a'x の 0≦x≦1 における最大
値 M (α) を求めよ。
立命館大 ]
00000
基本 219 224
指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題 219 と同じ要領で, 極値と区間の
端での関数の値を比べて最大値を決定する。
f(x) の値の変化を調べると, y=f(x) のグラフは右図のよう
a
y
になる (原点を通る)。 ここで, x=- 以外にf(x)=(1/2)
を
満たすx (これをαとする) があることに注意が必要。
3
よって、1/3,α (1/3<α)が区間0≦x≦1に含まれるかどうか
3'
a
で場合分けを行う。
f'(x)=3x2-4ax+α²=(3x-a)(x-a)
解答 f'(x)=0とすると
x=131
a
a
0
a
a ay
3
+
0
まずは,f'(x) =0を満た
すxの値を調べ, 増減表
をかく。
a > 0 であるから, f(x) の増減表は次のようになる。
<a>0 から
x
[2]
2a3のと
4
a
f(x)はx=33
M(a)=
4
[3] 0<a<
<a<
3
の
4
f(x) は x=
以上から
M(a
P
Te
a
....
a
...
0<<a
3
3
-
20 + Pa
S(0)\(
(0)
f'(x) + 0
f(x) 極大 極小
ここで,f(x)=x(x2-2ax+α²)=x(x-a)から
2
4
(3)=(-a)=a³, 1(a)=0
-27
と直線
y=f(x)
大量y=1/27 1は、x=1/3の
=1/3以外にf(x)=27
4
点において接するから、
αを満たすxの値を求めると,
4
f(x) = 12/27 からおけるVの
as-
x-2ax2+α2x-
4
ゆえに(x-1)(x1/30) 05/5
270=0とな
S
(*)
11001-2a
a²
=0
ama
5
4
Q2
3
9
27
x=
3
であるから
x=- a
4
3
5
4
a
1-
うになる。
よって, f(x)の0≦x≦1における最大値 M (α) は,次のよ
201
-a
92
0
3
¥ 9
a
4
3
9
a
3
[1] 1< // すなわち a>3のとき,山
4
1-
0
39
f(x) はx=1で最大となり
a2-2a+1
M(a)=f(1)
☆最大
--
10
la
a
x
3
●指針」
★の方針。
[1]は区間に極値をとる
xの値を含まず、区間の
右端で最大となる場合。
練習
③223
alt
f(x)-a³ 12(x-1)
1で割り切れる。このこと
を利用して因数分解する
とよい。
63
13
3次関数の
検討 p.344 の参
この値を調
2つの
x 座標
よって
½
として
