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円
重要事項
◆楕円 標準形
(aas aas)
(1) 次の楕円の長軸の長さ, 短軸の長さ, 焦点および頂点を
求めよ。 また,その楕円の概形をかけ。
x²
1,²
+ -=1
36 16
(ア)
★★★
楕円と線分 24 楕円
ポイント⑩ 楕円
内分点の 23 長さが6の線分ABの端点Aはx軸上を,端点Bはy軸上を
跡
動くとき,線分 AB を 15 に内分する点Pの軌跡を求めよ。
・ポイント② P(x, y), A(s, 0), B (0, t) とおける。 s, tをx,yで表し
て s, t の満たす式に代入し,xとyの関係式を導く。
x²
◆楕円と円 楕円
(2) 次のような楕円の方程式を求めよ。
(ア)2つの焦点 (2,0),(2,0) からの距離の和が8
(イ) 長軸の長さが12, 短軸の長さが8, 中心は原点で,長軸
はy軸上にある。
+
[aas ras] MON
a² +²2=1
a>b>0のとき 焦点 (±√²-62,0) ( 焦点はx軸上)
boot
>>0のとき 焦点(0, ±√32-α² ( 焦点はy軸上)
+3²
x²
q² 8²
(イ) 4x2+25y2=100 (ウ) 7x2+y²=49
x ²
(a>b>0)
62
=1_ (a>b>0)______-) AJECT
1. 中心は原点, 長軸の長さは2α, 短軸の長さは26
ral
B(α, 0) とする。 この楕円上の点Pから長軸 ABに垂線PQを
下ろすとき,
PQ2
AQ･BQ
の値は一定であることを示せ。
ポイント ③ P(x1, y1) とおき, 各線分の長さを X1 V1 で表す。
重要
= 1 (a>b>0)の長軸の両端をA(-α, 0),
105N (= ²€ +0+² 14
2. 焦点は2点 (±√a^-620) [a>b>0 に注意]
4. 楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は2a
注意>a>0なら,長軸の長さ 26, 短軸の長さ 24, 焦点(0, ±√6-α²)
楕円上の点から2つの焦点までの距離の和26
注意 座標軸との交点は (±α, 0, 0, ±b) [α = b なら円]
x²
a²
に縮小または拡大して得られる曲線である。
3.x軸,y軸, 原点に関して対称
倉庫
x 1²
=1は,円x+y=d² をx軸をもとにして軸方向に2倍
62
A
HAS
/26② 次の楕円の長軸の長さ, 短軸の長さ, 焦点および頂点を求めよ。
また,その楕円の概形をかけ。
2
(1) x² +²2=1 *(2) 3x²+6y²=18 *(3) 2x2+y²=4
16
9
*2632点 (5,0), (-5,0) からの距離の和が12である点Pの軌跡
を求めよ。
7 楕円 19
〒264円x²+y²=25 を,y軸をもとにしてx軸方向に1/43 倍にする
と どのような曲線になるか。
5
B
*265 次のような楕円の方程式を求めよ。 中心は原点とする。
(1) 焦点間の距離が4, 長軸の長さが8, 長軸がx軸上にある。
/3
(2) 2 (-3, √35), (1, √3) を通り, 2つの焦点がx軸上に
6
ある。
(3) 焦点が2点 (0, 4), (0, -4), 短軸の長さが6
*266 長さが4の線分ABの端点Aはx軸上を, 端点Bはy軸上を動
くとき,線分 AB を 53 に外分する点Pの軌跡を求めよ。
x 1²
9
2672点A(-2,0),B(2,0),楕円
x²
45
きる AQBの重心Pの軌跡を求めよ。
....... 10
=1 上の点Qでで
*268 楕円x2 +4y2 = 4 上の点Pと点 (10) の距離の最小値,お
よび最大値を求めよ。
274
......
②
*269 原点を0,楕円 +1=1とy軸の交点をA,Bとする。
x²
9 25
A, B 以外の楕円上の点をPとし､直線PA, PB とx軸の交点
をそれぞれ Q R とするとき, OQ･OR の値は一定であることを
示せ。
...... 1
......
