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基本 例題59
V7 が無理数であることの証明
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V7 は無理数であることを証明せよ。 ただし, nを自然数とするとき, n?が7の
倍数ならば,nは7の倍数であることを用いてよいものとする。
【類九州大)
基本 58
指針> 無理数であることを 直接証明することは難しい。 そこで, 前ページの例題と同様
○ 直接がだめなら間接で 背理法
に従い「無理数である」 =「有理数でない」 を, 背理法で証明する。
つまり、7 が有理数(すなわち 既約分数 で表される) と仮定して矛盾を導く。
補 2つの自然数 a, bが1以外に公約数をもたないとき, aとbは 互いに素である
2章
(数学A参照)といい, このとき, は既約分数 である。
b
解答
V7 が無理数でないと仮定すると, 1以外に正の公約数をもた
a
『ない自然数 a, あを用いて, V7= と表される。
A17 は実数であり, 無理数
でないと仮定しているから,
a=/7b
a=76°
このとき
有理数である。
両辺を2乗すると
よって,α'は7の倍数であるから, aも7の倍数である。
ゆえに,cを自然数として, a=7cと表される。
この両辺を2乗すると
の, 2 から
よって,6°は7の倍数であるから,bも7の倍数である。
ゆえに,aとbは公約数7をもつ。
これは,aとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する。
したがって,V7 は無理数である。
の
例題の「ただし書き」 を用
いている。
a°=49c?
76°=49c? すなわち 6=7c?円
これも,「ただし書き」によ
る。
検討
上の解答で示した背理法による証明法は,(2, /3 , /5 などが無理数であることの証明にも用
いられる証明法である。この場合
「n°がk(k=2, 3, 5) の倍数であればnも々の倍数である」
ことを利用する。なお, 上の例題文のように, 「(*)を用いてよい」などと書かれていなければ,
(*)も証明しておいた方が無難である。
参考 「自然数 nに対し, n°が7の倍数ならば, nは7の倍数である」ことの証明は, p.98 基本
例題 56 と同様にしてできる。
位散でけな)」が真であることを
7命題と証明
