関数 y=4x+1-2x+2+2 (x≦2) の最大値と最小値を求めよ。
00000
/ 関数y=6 (2x+2-x)-2(4*+4¯*) について, 2*+2=t とおくとき,yをt
を用いて表せ。また,yの最大値を求めよ。
指針
(1)おき換えを利用。2*=t とおくと,yはtの2次式になるから
2次式は基本形α(tp)+αに直すで解決!
なお、変数のおき換えは,そのとりうる値の範囲に要注意。
(2)まず,X2+Y2=(X+Y) -2XY を利用して, 4+4 を表す。
・基本 173
で表すとの2次式になる。なお,t=2*+2* の範囲を調べるには, 20,
2-x>0 に対し, 積 2*2=1 (一定) であるから,(相加平均) ≧ (相乗平均)が利用で
きる。
(1) 2^=t とおくと t>0x≦2 であるから 0<t≦2|pg⇔2°≦2°
解答
したがって
<t≦4
y を tの式で表すと
(1)
①
ケ
y=4(2")"-4•2"+2=4f-4t+2=4(t-12) 2+1
①の範囲において, y は t=4で最大, t=1/2で最小とな
gol
y
50
最大
る。 t=4のとき
2=4
ゆえに x=2
のとき
2x=
1
10 2 10of
ゆえに
[豆] (1/2)
4
よってx=2のとき最大値50, x=-1のとき最小値1
(2)4*+4=(2x)+(2-x)=(2' +2'*)'-2・2・2x=-2 2F•2-1=2°=1
ゆえに
y=6t-2(t2-2)=-2t2+6t+4
......
20, 2x 0 であるから,(相加平均) ≧ (相乗平均)よ 相加平均と相乗平均の関係
り(*)2+2222×2 すなわち t≧2…②
a>0, 6>0のとき
a+b √√ab
2
成り立つ。
ここで,等号は 2*=2x すな
わちxxからx=0のときで
-lo
こ
YA
m17
最大
2 8
り立つ。)
(等号はa=bのとき成
①から y=-2(1-2/21)2+1/27
4
② の範囲において,yはt=2
のとき最大値8 をとる。
x=0のとき最大値 8
32
3 2
t
t=2となるのは, (*)で
等号が成り立つときであ
る。
(
5
5章
29
2 指数関数
