例題 17
漸化式と極限 (3)
a=1, an+1=√2+3 (n=1,2,3, ......)
で定義される数列{am} について,次の問いに答えよ.
(1)数列{an} が極限値αをもつとき,α の値を求めよ.
(2)(1) αについて,
anti-alla-al を示せ.
(3) lima=α であることを示せ
****
「考え方」
(1) lima=α のとき, liman+1=αであるから,
→:00
YA
y=x
これを与えられた漸化式に代入して考える。
y=√2x+3
求めたαが条件に合うか確認が必要..
(2)(1) で求めた α を代入し, 漸化式を用いて不等式の
左辺を変形する.
a2a3
(3) 実際に lima を求める. はさみうちの原理を利用する.
a=1
00+11
解答
(1) lima=α とすると, liman=liman+1=α なので,
無理方程式
8118
漸化式 an+1=√2+3 より
α=√2α+3 ... ①
両辺を2乗して, α = 2a +3 より,
α=-1 は ①を満たさないから. a=3
(2)|a,+1-3|=|√2a,+3-3|=| 2a,+3)-9
α=-1,3
√2an+3 +3
1
==
-|2a-6|
√2an+3+3
√2an+3+3
よって, a,+1-3|22|47-31は成り立つ。
==
la-3≤an-3
(3)(2)より14,-31010,13|
2\n-1
2\2
n-2
3
ここで,4=1より、0a,-3=2.......
\n-1
2\n-1
(p.98 参照)
a²-2a-3=0
(a+1) (α-3)=0
α=-1, 3 が①を満
たすか確認する.
分子の有理化
√2+3≧0 より
√2a+3+3≥3
√2a, +3+3 3
(2)をくり返し用いる.
|-3|=|1-3|
|=|-2|=2
Focus
② lim2(12/3) 0 とはさみうちの原理より、
→∞
lim|a-3|=0
11-0
よって, lima=3 となり、題意は成り立つ.
liman=a=
liman+= a
8-8
