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重要 例 19 塗り分けの問題 (2)
立方体の各面に、隣り合った面の色は異なるように,色を
方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。
(1) 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。
(2) 異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。
ただし、立
基本 17 重要 31
指針 「回転させて一致するものは同じ」と考えるときは, (1) 1色で固定 展開図 (上面を除く)
特定のものを固定して、他のものの配列を考える
(1) 上面に1つの色を固定し, 残り 5面の塗り方
を考える。 まず下面に塗る色を決めると, 側面
の塗り方は円順列を利用して求められる。
(2) 5色の場合、同じ色の面が2つある。 その色で
上面と下面を塗る。 そして, 側面の塗り方を考
えるが,上面と下面は同色であるから,下の解答
のようにじゅず順列を利用することになる。
下面
異なる色
側面は円順列
(2)
同色で固定
CHART 回転体の面の塗り分け 1つの面を固定し円順列 かじゅず順列
(1)ある面を1つの色で塗り,それを上面に固定 検討
解答
する。
このとき、下面の色は残りの色で塗るから
5通り
そのおのおのについて, 側面の塗り方は、異なる
4個の円順列で
よって
(4-1)!=3!=6(通り)人と干
5×6=30 (通り)
るから
(1) 次の2つの塗り方は,例え
左の塗り方の上下をひっくり
すと, 右の塗り方と一致する
このような一致を防ぐため、
面に1色を固定している。
5
6
(E)ASE-1
()
(2)2つの面は同じ色を塗ることになり,その色の
選び方は
通り
その色で上面と下面を塗ると,そのおのおのに
ついて, 側面の塗り方には,上下をひっくり返す
と,塗り方が一致する場合が含まれている。 (*)
ゆえに、異なる4個のじゅず順列で
って
(4-1)!=3=3(通り)
2
2
5×3=15 (通り)
に関し,例えば,
つの塗り方(側面の色の
が、時計回り、反時計回
いのみで同じもの) は、
ひっくり返すと一致する
