111の⑵ 8行目から9行目への式変形が答え合わないです教えて下さい

12 111は2以上の自然数とする。 1からnまでの自然数 1,2 ..., n n の各数を1 つずつ書いたn枚のカードが入った箱がある。 この箱から同時に2枚のカー ドを取り出して,そのうち大きい方の数をXとする。 (1) 1≦k≦nである自然数んに対して X=k となる確率を求めよ。 (2) Xの期待値と分散を求めよ。 111 (1) X=k となるのは, 1枚は数kが書かれたカードを取り出し, 他の1枚はk-1以下 の数が書かれたカードを取り出した場合である。 (2) - 1/2n(n+1)を利用。 る場合の数は, 2(k-1) E(X)= k. 2.2 通りである。 n(n-1) ドから2枚を取り出す方法の総 通り) 2 k=1 分布は次の表のようになる。 2 1 3 4 4 20 10 x=2- =4 10 +3.+4. +6. 20 10 10 200 5210 100 +5・ 10 10 6 計 1 n 2(k-1)] EX) =22.. +32, 10 +42. 100 200 10 ここで * = - n(n+1 (n+1)2n+1) k=1 +52. 20 n(n+1)(3n2-n-2) 12 10 n(n-1) (k²-k) n(n-1)6 2(n+1) 3 n(n + 1)(2n + 1) −— — — n ( n + 1) E(X2)=k2. k=1 n(n-1) - 2 (k³-k²) n(n-1)ki (1) E(Y)=E(X+ 2) = E(X) + =1+2=1 14 V(Y) =V (X+2)=V(X)= a (Y) = √(Y) = (2) E(Y)=E(2X+1)=2E 4 =2.1+1=13 V (Y) =V(2X+1)=2L 25 9 36 =4･ 25 25 a(Y)=√V(Y) = 6-5 したがって +62_2 89 5 10 89 V(X) = E(X²)-(E(X)=-42= [解] [V(X)の求め方 ] 1 V(X)=(2-4)2.. 10 +(3-4)2.. 4 10 +(4-4).. 1 10 + (5-4)?. 10 +(6-4)2.2 95 (n-1xn+1x3n+2) よって E(X2)=(n+1)(3n+2) 6 ゆえに V(X)=E(X2)-(EX)} (n+1)(3n+2) 2(n+1) 6 (n+1)(n-2) 3 18 112 F(X)=-2V(X)=5であるから E(Y) =E(3X+7)=3E(X) +7 =3・(-2)+7=1 (3) E(Y)=E(-2X+3): 4 =-2.13+3= V(Y) =V(−2X+3) 9 36 .2525 =4.- (Y)=√V(Y) = 114 (1) X のとりう は X= 0, 1, 2, 3, 5で1人を右の図の の席に固定して考え とにより P(X=0) =P(X=1)=PX

2007年東大　確率 （3）のm＝nのときの確率が1にならないのは何故ですか？ 2度とも高さはmになるので、高い方のブロックの高さがmである確率は1になる気がします… 教えて下さい🙇

[19] No 1 確率の応用③ VV ① ブロックの高さは, 最初は 0 とする。 9/100592105 表が出る確率が♪, 裏が出る確率が1-0であるような硬貨がある。ただし, 01 する。この硬貨を投げて,次のルール(R)の下で,ブロック積みゲームを行う。 (2) (ア)manのとき、 No. (1)m=nのとき、 (R) ② 硬貨を投げて表が出れば高さ1のブロックを1つ積み上げ, 最後の高さがm以下(n) となるのは、 裏が出ればブロックをすべて取り除いて高さ0に戻す。 (1)で,最後にブロックの高さがm以下となる確率を求めよ。 nを正の整数, m を0≤m≦n を満たす整数とする。 V (1) n回硬貨を投げたとき、最後にブロックの高さが となる確率 m を求めよ。 (3) ルール(R)の下で, n回硬貨投げを独立に2度行い,それぞれ最後のブロックの高さ を考える。2度のうち, 高い方のブロックの高さがmである確率 1m を求めよ。 ただ し,最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする。 F m Sapk 211-90190k = (1-9)x+1 bm=100m+1 1-9 よって、 9m + gm=am=1 11-gmt (0 ≤m≤n-1) (m=n) (東京大) 2007 n-m (1-9 n -X0000 m ☆互いに排反or場合分けで注意 (3)条件をみたすのは、 19 (1)裏が出ると、高さがCの状態、つまり最初の 状態に戻るので、裏が少なくとも1回出るか どうかで場合分け よって、口回投げたとき最後の高さがいか、 □未満かで場合分け 1回2回 n-m@ (ア) △ (イ) ○○ X 00 ma no △:注意 0:表… X:1-9 www (ア) m≠nのとき. Pm=(1-ppp (1)m=nのとき、 Pm=Pn=" (1-90) 9pm (0 ≤m≤n-1) よって、Pm (m=n) 「2度とも以下」から「2度ともM-1以下 mis を取り除いた場合 (ア)manつまり0≧m≦n-1のとき 2 m=9m² 70m² (m40) hm-1 = (1-70+172-(1-90112 F = 12-7pm 9pm 1pm 1-P+1) い また、m=0のとき、911-90ドリ m=0のときも成り立の (1)m=nのとき、 2 = 2-02 ym よって、 2 1回 2回 m m m m-1以下 m-14 m とも m以 -m-132F 高い方が M (2-9pm-p")" (-1+1) (0εmsn-1) Ym9pm (2-90m) 1-11-9 Q2回のうちのMexより、ドーナツ型 =9pm (2-9pm) 2 941ブロックの高さが1以下となる確率 (man) #

この問題の解き方を教えてください。 解き方の3段目までは理解できるのですが、なぜ80/221になるのかがわかりません 教えてくれる方は説明もお願いいたします🙏 みなさんからするとレベルの低い問題かもしれませんが教えてください！

13 (1)(22/+口) (2/18+) 1.25-12-12/2 解き方 40 ÷ 1/12=1 2715 Lik (桜蔭中) +1.25-112=1235 (1) (210+口) 1.25- 40 75 93 1 + ÷1 97, 11 + 40 4 75 12 93 221 5 + == 40 = × 1004 221 80 7 16 93 40 34答

この問題を解く方法で、解答のように全て書いていく以外に解き方はないですか？

問 150 第6章 順列組合せ 91 場合の数(II) % 10/14×1/ 10,1,2,3とかかれたカードが2枚ずつ計8枚ある この8枚のうち、3枚を使って3桁の整数をつくるとき,次の 問いに答えよ。 ただし、同じ数字のカードは区別がつかないとする。 (1) 0 を使わないものはいくつあるか. (2) Oを使うものはいくつあるか. (3) 3桁の整数はいくつあるか.

(2)について教えてください💧‬ グラフの書き方も、数値の出し方もわかんないです

205 00000 aは定数とする。 0≦02 のとき, 方程式 sin20-sin0=αについて 例題 126 三角方程式の解の個数 この方程式が解をもつためのαのとりうる値の範囲を求めよ。 この方程式の解の個数をαの値によって場合分けして求めよ 基本125 0000 および最大 基本124 CHART & SOLUTION 方程式 f (0)αの解 2つのグラフ y=f(0),y=aの共有点 sin0=k (0≦0<2π) の解の個数 k=±1 で場合分け ………… 目の個数はk=±1 のとき1個; -1 <k<1 のとき2個 ; k<-1, 1< のとき0個 その方の三角 を含む2 (1) sin20-sin-a ① とする。 (0 CO 4歳 sind=t とおくと 式に変 形に変形。 方程式 ②③の範囲の解をもつことである。 t 4 1 グラフと直線y=qの共有点の座標であるから, 右の図よりas ●方程式 ②の実数解は、y=e-1 (1-12-12 [2] ただし, 0≦02 から ③ したがって, 方程式 ①が解をもつための条件は, t2-t=a ...... ② 16 y y=f-ti [1]→ 2 y=a [2]→ 1 1-1 0 2 1/ [4] [5] 1 4 三角関数のグラフと応用 200nas 18 数の ●(2)(1)の2つの関数のグラフの共有点のt座標に注目すると, 方程式の解の個数は,次のように場合分けされる。 [1] a=2 のとき, t=-1 から 1個 Daor [2] 0<a<2 のとき, -1<t<0 から 2個 [3] (1)[4]- [3] α=0 のとき, t = 0, 1 から 3個[4] [5] 2π [3] [4] 14-1 <a<0 のとき,O<t</12/1/11121 70 [2]→ の範囲に共有点がそれぞれ1個ずつあり, そ [1] - れぞれ2個ずつの解をもつから 4個 t=sin0 [5] α=-- のとき,t=- 11 から 2個 2 個 [6] a<-12<a のとき 2- PRACTICE 126 を定数とする。 方程式 4cos'x-2cosx-1=αの解の個数を一π<x≦πの範囲 [類 大分大] で求めよ。

物理　光学　の範囲です。問題の答えは出るのですが、「右ページ下のはてなマークが書いてある、t0が最小到達時間であるから時間差は0でよい」の意味が理解できません。 うまく言い表せなくて申し訳ないのですが、教えてくださったら幸いです🙇‍♀️🙇‍♀️

***Exercise 図 を0, 上での光の屈折を考える. 点P (-1, y) から出た光は,原点Oで屈折し、点Q から 波に 制限時間20分 図のように、屈折率 n, の媒質I と屈折率 n2 の媒質Ⅱの境界上に軸をとり フェルマーの原理によるスネルの法則の導出 第1講 ② 2つの原理 PO' O'Q t= + C C 1 + 4x)² + 11 ² + 12 √(x² - 40)² + 1 2- y²² } n₁ 72 に達するとし, 線分OPとy軸のなす角を 01, 線分OQとy軸のなす角を62といて, 4æl, m1, 1, 2, y2に比べて極めて小さい値とし, tの近似値を求める . 2,y2 は正の定数であり, 0000290°である. 4ælを PO′= √(x + 4x)² + y² = √x₁² + y₁² + 2x₁ 4x + (Ax)² 2,y2に比べて極めて小さい値とし, 点O' (4x, 0) を定めれば, 光が点から小項の2乗 (4) は他の項に比べて極めて小さいので無視できる. Qに達する時間 t と, 光が点P から点0を経て点 Qに達する時間もと △t=t-toは0と見なせる. y Y1 Ax O' X2 → O PO√x²+y+2x4x = √x²+ y² ewton の1次近似より、 PO'≒2+y^ 1 + 1 2x4x 2m²+y/2 2x Ax x² + y² つくる (+) αの大きさが1に比べて 極めて小さい場合 (1+α) ≒ 1 + αβ 1 媒質 I x+y/i + AC √x₁² + y₁² Newton の1次近似 Qも同様に近似すれば, T2 媒質Ⅱ 'Q=(2-z)^2+y22≒ x2+222 Ax V2 ここで、 4t=t-to π2 -Y2 x1 ++ 4c+n2 Vπ22+y2 122+y24 (1) このことから、光の屈折におけるスネルの法則, n, sinQ=nsin2 を導け. (√x²+ y²+√x²+ y²) (2) π2 1 Ac Exercise Ans. At = m 2 2+yi + 光が点Pから点Oを経て点Qに達する時間to を求める. 三平方の定理より、 PO= = √√x₁ ² + y² ², OQ = √x²² + y²² が最小到達時間であるから, わずかに屈折点の位置をずらしても到達時間はさして変 わらないゆえに, 時間差4tは微小変位の値に依らず0でよい. 上式より, 真空中の光速度をcとすれば,媒質Iでの光速度は,媒質Ⅱでの光速度は一 21 2 =n2 112 2+ y VIz2+y2 て, ここで、入射角と屈折角の定義から, T2 PO OQ C C to = + = ± ± (m₁ √x² + y² + n₂ √x² + y² 1 2 sin 6 = sin02= n n2 同様に,光が点Pから点0′を経て点Qに達する時間tは, 以上より, スネルの法則 n, sin ₁ = n₂ sinė₂ が導かれた. 58 50 59

45ってどこから出てきたんですか。教えてください。

19 次のような等差数列{an) の一般項を求めよ。 (1) 第3項が 44, 第8項が29 (3) 公差が5, 第10項が50 → p.11 例題1 (2)第15項が22, 第45項が112 (4) 初項が100, 第7項が64 すなわち an=3n-23 (3)初項をa とすると 答 詳 an=a+(n-1)・5 第10項が50 であるから a+45=50 これを解くと a=5 よって, 一般項は an=5+(n-1)・5 すなわち an=5n

問題でθの範囲は定められてないのに勝手に決めちゃっていいんでしょうか。

基本 例題 93 1のn乗根 極形式を用いて, 方程式 21 を解け。 CHART & SOLUTION 複素数の累乗 ド・モアブルの定理 [1] |2|=1 より =1であるから, z=cos0+isin0 とおく。 [2] 方程式 2”=αの両辺を極形式で表す。 [3] 両辺の偏角を比較する。 偏角はarga +2kπ (k は整数)とする。 [4]0≦0<2πの範囲にある偏角の値を書き上げる。 解答 00000 313 p.302 基本事項 5 基本90 2=1から | z | 3=1 よって |z|=1 <+r=1 したがって, zの極形式を z=cosisin <2 とすると =cos 30+isin 30 ◆ド・モアプルの定理 また, 1を極形式で表すと 1=cos0+isin 0 よって, 方程式は cos 30+isin 30=cos0+isin 0 両辺の偏角を比較すると 3章 11 複素数の極形式, ド・モアブルの定理 2kл 30=0+2km (kは整数) すなわち 0 30=0 だけではない。 3 2kл 2kл +2k を忘れずに! よって z=COS +isin ..... ① 3 3 0≦02 の範囲では k=0, 1,2 ① で k = 0, 1, 2としたときのぇをそれぞれ20, 21, Z2 とす z= cos0+isin0=1, 12/3n+isin/3x=-12+12 inf. 23=1の解を複素数 平面上に図示すると, 下図 のようになる (p.302 基本 事項 5例 を参照)。 解を 表す点 20, Z1,Z2は単位円 に内接する正三角形の頂点 ると 21 COS 4 z2=cOS gr+isin 3π 2 2 4 1 √3 π= YA したがって、求める解は z=1, -121121-12-13 1√3 1 2 21 + -i, π 3 inf. 「極形式を用いて」 と指示がない場合 z-1=0 から (z-1)(z2+z+1)=0 -1±√√3i よって z=1, 2 と解くこともできる。 nia -1 22 20 x

全部わかりません 教えていただきたいです

(作業) (1) 凡例の農業地域の作物名を答えよ。 [a 〔 〕 (2) cは年降水量が何㎜の線か。 〔 〕mm 第8節 プランテーション農業 ① 成立 羊 乾燥パンパ 羊 a b ブエノスアイレス a 湿潤パンパ 牛 牛 ●バイアーブランカー 年降水量 (c) m

どうしてあ党は2人い党は2人でう党は2人1人なんですか？

表中の( にあてはまる数字を ふりかえり +1 書きましょう。 (答えは右のページの下) 比例代表制による選挙(議席数5) 政党 あ党 ③党 当選するのは、 あ党(C)人、 得票数 12000票 9000票 4800票 得票数÷112000 9000 4800 得票数÷2 (A) 4500 得票数÷3 4000 (B) (D) 人、 (E) 人 2400である。 1600 A( 6000 )B( 3000 C( 2 ) D( 2 E( 1 - )