ふ次方程式 x= 1 の虚数解の1つをωとするとき
(1))100+ の値を求めよ。
1の虚数の3乗根の
例題 49
を直接計算するのは大変。
(1) o1000 o 50
3次式→定数
w3%3D1
次数を下げる
(に。
2次式 → 1次式
[x=D1 の解
Oば
l0°+w+1=0より =--」
((x-1)(x+x+1) = 0 の解
1年
虚数解
→ これを用いると '+0
規則性を見つける
0? の
0°
o10
の?
0°
の
の
II
1
II
II
の?
0?
の
の
の
→0, の°, 1がくり返す。
Action》 o"の値は, nを3で割った余りで場合分けせよ
解(1) x°=1 より
oは x° =1 の虚数解の1つであるから
° = 1, o°+w+1=0
このとき
(x-1)(x°+x+1) = 0
以下, oの値を具体数に
求めていないことに湖
する。実際にはωは
= (ω°)3.0=D1*.0=ω
-1+/3
100
の
または
2
0= (°)6.0° =D16.(一e-1) = -e-1
であるが,これらを場始
分けして考えるのは大葉
である。いずれの値の場
合でも
0100 + 0 = o+(lel1) = -1
(2)(7) n= 3m (mは正の整数)のとき
P(o) = o(3m) +wm+1
= (°)om+ (ω)+13
1) n= 3m+1 (mは0以上の整数)のとき
よって
を満たすことに注目して
|考える。
P(o) = o2(3m+1) + m+1 +1
o" =
|(n:3で割って1余剤
{0°(n:3で割って2余る
(n:3で割り切れる)
= °+o+1=0
(ウ) n= 3m+2 (mは0以上の整数)のとき
P(w) = 0 (3m+2)
= (°)m . w.e+ (ω°)" . w% +1
=o+o°+1= 0
3m+2
{の+n = 0"" w"
= のm
Oを用いて計算する。
(ア)~(ウ)より P(ω) =
(3 (nが3の倍数のとき)
l0 (nが3の倍数でないとき)
コ 49 方程式 x° =1 の虚数解の1つを ωとする。 自然教
ア,イ), ()をまとめる。
P(n) =D 1+w ·
思考のプロセス
