例題 58
(2) 12299500 Gas
ピタゴラス数の証明 ★★★☆
(1) αを自然数とするとき, αを4で割ったときの余りは0か1であるこ
とを示せ
(2)1,m,nを自然数とする。 +mmならば,L,mのうち少なくと
も1つは2の倍数であることを証明せよ。
結論 向
RoAction 余りに関する証明は、余りによる分類 (剰余類)を利用せよ 例題56
(2)条件の言い換え
(ア)だけが2の倍数
1(d)
問題編 5
46
☆☆☆☆
47
★☆☆☆
次の
(1)
(2)
次①②
思考プロセス
「結論」
Actiser P
( だけが2の倍数
(ウ), ともに2の倍数
3つの場合があり《Goit
証明しにくい
Action» 「少なくとも~」の証明は,背理法を利用せよ
解 (1) 自然数αは2で割った余りに着目すると, 2p 2p-1
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(自然)のいずれかで表すことができる。
(ア) α = 2p のとき
a2= (2D)2=4p2
は自然数であるから, は整数である。(1
よって, d' を4で割った余りは0である。
4で割ったときの余りで
分類してもよいが, 2で
割ったときの余りで場合
分けして考えても うま
4でくることができ
る。
(イ)a=2p-1 のとき
a² = (2p-1)² = 4(p² − p) +1
は自然数であるから,
は整数である。(=
よって, d を4で割った余りは1である。
(ア)(イ)より, d を4で割ったときの余りは0か1である。
(2) l, mがともに2の倍数でないと仮定すると
e) = M
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☆★☆☆
49
★★
