基本例題 25 垂心の位置ベクトル
「平面上に△OAB があり, OA=5,OB=6, AB=7 とする。 また, △OABの垂
心をHとする。
点A、Bをとる。
サイ
(1) COS ∠AOB を求めよ。
点じが
② OA=d, OB=6 とするとき, OH を a, 6 を用いて表せ。
指針 三角形の重心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり,
△OABの垂心 Hに対して, OA⊥BH, OBIAH, ABIOH
LO
が成り立つ。
上にと
そこで, OA⊥BH といった図形の条件をベクトルの条件に
直して解く。 (2) では OH = sa + t とし, OA･BH = 0,
OB･AH =0の2つの条件から,s,t の値を求める。
OP
52 +62-72 12
2.5.6
(I) 余弦定理から
1
2) (1) から a=la ||5|cos ∠AOB=5･6･ = 6
5
COS ∠AOB=
p.400 基本事項 5 重要 28
60 5
(31
M
*****
△OAB は直角三角形でないから,垂心Hは2点A,Bと
一致することはない。
Hは垂心であるから OA⊥BH. OBAH
A
H
・B
421
[参考] AB=16-
=161²2-26-a+la12²
|AB|=7, |a|=5,||=6で
あるから 72=62-25 ・a +52
よって 4.6=6
