-
![]()
3 第1章
例題12
はさみうちの原理 (3)
a=1+h (h>0) とおくとき、 次の問いに答えよ. (nは自然数)
n(n-1) h²を示せ .
(1) (1+h)">l+nh+
2
=0 を示せ
(1hi
(2) lim;
11-00
n
a"
考え方 (1) (1+h)" を二項定理で展開し, 1, nh,
h)₁ = 1th
8-1 が何を表しているか考える。
2
(2) (1) で示した式とはさみうちの原理を利用する.
(3) monx" より 1/12 x を関連させることを考える。
解答 (1) 二項定理より,n≧2 のとき,
(1+h)"="Co+,Cih+++ Cmh"
≧,Cot,Ch+,Cahe
=1+ nh+
これは,n=1のときも成り立つ。
n(n-1)
ここで,
1100
よって, (1+h)" ≧1 + nh+ 2
a"
n(n-1)
(2)(1)より,α"=(1+h)" ≧1+nh+
2
るから、 両辺の逆数をとって,両辺にnを掛けると
①
lim
→∞
=lim
2100
limnx"=limn
よって,
(3) 0<x<1のとき, limnx" = 0 を示せ .
2100
11 → 00
n(n-1),
1+nh+
-h²
2
n
1+nh+
+
h
N
n(n-1)
2
n
11
limnx"=0
+
-h²
n
n(n-1) ²
2
1
n
0
よって, ①,②とはさみうちの原理より lim-
n
n→∞o a"
(3) h>0 より,a=1+h>1 であるから, 0<x<1 よ
り、x=-
(0)とおくと、(2)より,
10mil
h²
n/ 2
=lim
1140
-=0
(1+AS)(-AS)
n→∞0
が成り立つ.
200
h²>0 であ
n
(1+h)"
=lim-
114 0
mil
n
(2) lim
次の極限値を求めよ.ただし,nは自然数とする.
x
n
3"
(1) limg"
1100 n!
-=0
-=0
Think
(a+b)"
=Coa" Cia
例題
次
n
a"
う。
++C₁
»Co=1, „Ch=n
„C₂h²= n(n-1) |
h²
2
(与式の右辺を表して
いる.)
n=1のときも成り立
つか確認する.
考え方
n≧1, h>0 より,
(右辺) > 0
を作る式変形を行
(1
a
解
①の右辺の極限を調べ
る。
分母, 分子を n で割る.
(2) を利用することを考
える.
anx" に着目して
x= とおいてみる.
p.617
