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本 例題 85
円の方程式の決定 (2)
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3点A(3,1),B(6, 8), C(-2,-4) を通る円の方程式を求めよ。
p.138 基本事項 1
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CHART & SOLUTION
3点を通る円の方程式
一般形 x2+y2+x+my+n=0 を利用
① 一般形の円の方程式に, 与えられた3点の座標を代入
2 1,m,nの連立3元1次方程式を解く。
基本形を利用しても求められるが, 連立方程式が煩雑になる。
垂直二等分線の利用
3
求める円の中心は, ABC の外心であるから, 線分AC, BC それぞれの垂直二等分線の
交点の座標を求めてもよい。
12
解
求める円の方程式を x2+y2+lx+my+n=0 とする。
点A(3, 1) を通るから
←一般形が有効。
32+1+37+m+n=0
点B(6, -8) を通るから
62+(-8)2+61-8m+n=0
点C(-2, -4) を通るから (-2)^(-4)2-21-4m+n=0
整理すると
31+m+n+10=0
61-8m+n+100=0
2
円と直線,2つの円
21+4m-n-200
これを解いて
l=-6,m=8, n=0
(第1式)+(第3式)から
1+m-2=0
(第2式) + (第3式) から
21-m+20=0
よって 3/+18=0 など。
よって, 求める円の方程式は x2+y^2-6x+8y=0
[別解 △ABCの外心Dが求める円
の中心である。
yA A
/②
0
x
線分 AC の垂直二等分線の方程式は
中心D
C
3
=-x-
線分ACの
すなわち y=-x-1・・・・・・ ①
線分 BC の垂直二等分線の方程式は
B
傾き1
y+6=2(x-2)
すなわち y=2x-10
②
①,②を連立して解くと
x=3,y=-4
線分 BC の
中点 (2, -6),
よって, 中心の座標はD(3,-4),
傾き - 12
半径は AD=1-(-4)=5
ゆえに求める円の方程式は
(x-3)2+(y+4)²=25
RACTICE 85Ⓡ
②
3点 (4-1) (6, 3), (-3, 0) を通る円の方程式を求めよ。
