-
![]()
考え方
[Check]
例題292 分数型の漸化式 (1)
解
OF CO
Focus
a=-
1
2
で定義される数列{an}の一般項an を求めよ.
SSD OPTID
9
an の逆数
India (
3700
これまでに学んだ漸化式の解法が利用できないか考える ここ
では,漸化式の両辺の逆数をとって考える.
1
- を 6, とおくと、与えられた漸化式は,例題285
an
(p.505) のタイプ (an+1=pan+q) となる.
An
an+₁=₂an_) (s) +=+
2-an
an+1=0 と仮定すると, an=0
これをくり返すと, An-1=an-2 =......=a₁=0
となり, 4=1/12/30 と矛盾するので,
≠0
ここで,(bm=
よって,
与えられた漸化式の両辺の逆数をとると
1
2-an 2
・1
an+1
an
an
1
an
3 漸化式と数学的帰納法
***
=
とおくと,
an= =
1
2-1+1
an 0 (n ≥1)
SINCE+an+1 =
1
bn+1-1=2(6n-1),b1-1=1
したがって, 数列{bn-1} は初項1,公比2の等比数列だから、
bn-1=1・2n-1 より, \bn=2n-1+1
6n+1=26-1,61= -=2
a 逆数
OVE
となり,n=k+1 のときも成り立つ.
よって、すべてのnに対して, an=0 が成り立つ.
(南山大)
(2014
&+8+8= (-
a1 1歳8
+ spail it?
an
2-an
an=0
-=0
トキ」を確認するときとの
α=2α-1 より,
α=1
An
stato stansiy
1=27-1+1 より,
an=2n-1+1
分数型の漸化式は逆数で考える
13233) 48ð
注例題292 で an=0 は, これから学ぶ数学的帰納法 (p.532〜) を用いた証明もでき
Sant
3·0⁰
る.
RITIDS
<a≠0 の数学的帰納法による証明 > Cadd
n=1のとき, a1=- ≠0
+0¹
26832203_²5/S5/ESKAO3**# 53*
=kのとき, αk=0 と仮定すると, n=k+1 のとき, ak+1=
AT
513
ak
2-ak
Cas
33
まし
治温室また。分数型の漸化式は,例題292のように逆数を考える方法だけでなく,例題
D
293 (p.516) のように特性方程式を利用する解き方もある。
E
