基本 例 70 直線と平面の交点の位置ベクトル (2)
0000
R を辺BCの中点とする。 P,Q,R を通る平面と辺ACの交点をSとする
四面体 OABCにおいて, P を辺 OA の中点 Qを辺OBを2:1に内分する
OA=d, OB=1,DC=c とおく。
(1) PQ, PR をそれぞれd, 1, c を用いて表せ。
(2)比|AS||SC | を求めよ。
[類 神戸大 ]
指針 (2) 基本例題69と同様に, 点Sは 「3点P, Q, R を通る平面上」にも「辺AC」
にもあると考え, OS を a, b, c を用いて, 2通りに表して係数比較をする。
その際,「3点P,Q,R を通る平面上」 にある条件については, (1) の結果 (PQ, p
をそれぞれ,,こで表している) が使えるから, 次を利用する。
点Sは3点P,Q,R を通る平面上にある
⇔P$=sPQ+tPR となる実数 s, tがある
(1) PQ=0Q-OP=-1/+1/26
2
3
解答
5+C
1→
PR=OR-OP=
a=―
2
2
1→
12
a+
(2)点Sは3点P, Q, R を通る平面上にあるから
PS=sPQ+tPR (s, tは実数)
と表される。 (1) の結果から
OS=OP+PS
-1ā+ (-1½ à + ½ 6)+1 (−1½ à + 16 + 1/1 c )
s-t→
---+(+1)+1½
2
a+ s+
また,点Sは辺AC上にあるから,
AS:SC=u (1-u) とすると
OS=(1-u)a+uc
2
4点 0, A, B, C は同じ平面上にないから① ② より
1-8-1-1-u, s+1=0, 1=u
=U
2
3
2
これを解いて s=-1, t=3, u=/1
4
3
よって
|AS:ISCI=22:12:1
3
A
B
①を導いた段階で、
Sは線分AC上にある
から
1-s-t +
2
2
として考えてもよい。
