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例題 1062円の交点を通る円
2つの円x2+y2=5
・1, x2+y2+4x-4y-1=0
(1)2円の共有点の座標を求めよ。
0000
②について
(2) 2円の共有点と点 (10) を通る円の中心と半径を求めよ。
p.166 基本事項
指針 (1) 2円の共有点の座標→ 連立方程式の実数解 を求める。 本間のような2次と2次
の連立方程式では、1次の関係を引き出すとよい。 具体的には,①と② を辺々引
いて2次の項を消去し, x, yの1次方程式を導く。 次に, その1次方程式と①を連
立させる。
(2)(1) で求めた2点と点 (1, 0) を通ることから,円の方程式の一般形を使って解決
できるが,ここでは, p.166 基本事項 2 を利用してみよう。
2点で交わる2つの円f=0,g=0に対し 方程式kf+g=0(kは定数)
つまり2円 ①,②の交点を通る図形として,次の方程式を考える。
k(x2+y2-5)+(x2+y2+4x-4y-1)=0
この図形が点 (1,0) を通るとして,x=1,y=0を代入し,kの値を求める。
CHART 2曲線f= 0, g=0 の交点を通る図形 kf+g=0(kは定数)を利用
(1) ② ① から
解答
よって
4x-4y-1=-5
③①に代入して
y=x+1
......
(3)
x2+(x+1)=5
よって
整理して x2+x-2=0
ゆえに
(x-1)(x+2)=0
③から
x=1のとき y=2,
したがって, 共有点の座標は
x=1,
⑤ S
x=2のとき y= -1.
(1, 2), (-2, -1)
(2)kを定数として,次の方程式を考える。
k(x2+y2-5)+x2+y'+4x-4y-1=0.
さが
④
④ は, (1) で求めた2円 ① ② の共有点を通る図形(*)を表す
図形 A が点 (1, 0) を通るとして,人に x=1, y=0 を
代入すると -4k+4=0
③は,2円の共有点
を通る直線の方程式
である。これは,(2)
解答の人に
k=-1を代入して
得られる式と同じで
ある。
(*)
を円と書か
k=-1の
ないこと。
ときは直線を表す。
よって
k=1
これをAに代入すると
2x2+2y2+4x-4y-6=0
√5
(1,2)
(1,0)
X
ゆえに
x2+y2+2x-2y-3=0
すなわち
(x+1)²+(y−1)²=500<-√5
①
したがって
中心 (-1, 1), 半径52-
(-2,-1)-5
