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重要 例題 7 整数の問題への二項定理の利用
を自然数とする。 2を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは
2であることを示せ。
[類 千葉大]
指針 271+4 (Zは自然数) とおいてもうまくいかない。 ここでは,
kが 3g, 3g+1,3g+2
gはkを3で割ったときの商)のいずれかで表されることに注目し, k = 3g+2の場合だ
け2を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。
例えば,k=3gのときは, 2=28° であり, 8°= (7+1)として 二項定理 を利用すると
DE 2 AX 3
2* を7で割ったときの余りを求めることができる。
01²1₂
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解答
を3で割った商を
のいずれかで表される。
からな
A
[1] k=3gのとき,g≧1であるから
ver
-3で割った余りが 0, 1,2
2'=23=(2')'=8°= (7+1)。
Coz
kは 3g, 3g+1, 3g+2
すると,
=7₂C079¹+C₁79-2 +
で割った余りは1である。
+179-1 + +oCg-17+C
3424
よって2
[2] k=3g+1のとき,Q≧0であり
g=0 すなわちん=1のとき
q≧1のとき 2=239+1=2・239=2.8°=2(7+1)*
2²=2=7.0+2
なぜら
が
=7.2(C79-1+,C179-2+..+, Caf1) +2 (*)
よって2を7で割った余りは2である。
[3] k=3g+2のとき,Q≧0であり
g=0 すなわちk=2のとき
q≧1のとき 2=239+2=22・239=4・8°=4(7+1)。
2=22=4=7・0+4
よって2を7で割った余りは4である。
ctrl
=7.4(C79-'+。C,79-2+..+°Cq-1) +4
重要 6
←なせい?
étany
3で割った余りは0か1か
2である。
Ak=3, 6, 9,
④なぜましょ
| 二項定理
t" i ot z Ol+ ムー2 20
to pr
は整数で,
2k = 7× (整数)+1の形。
1k=1, 4,7,
【二項定理を適用する式の
数は自然数でなければな
ないから,g=0 とg≧1
分けて考える。 (*)は
の式を利用して導いてい
Ak=2, 5, 8,
[1] の式を利用。
である
