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265(1)(与式)=2fxdx5fxdx+3f dx
=2.1x1-5.3x²+3.x+C
=1/2x2x'+x+C(Cは積分定数)
x軸との上下関係をつかむ。
(2) (与式)=
式)= [1/1
t)=2f(3x2-1)dx=2[xx
テーマ 121 3 次関数のグラフと画
応用
曲線y=(x+1)(x-1)(x-3) とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
考え方面積の計算では、まずグラフをかく。そして, x
解答 方程式(x+1)(x-1)(x-3)=0を解くと
x=1,1,3
グラフは右の図のようになり
1≦xly 20
1≦x≦3 で yo
また y=(x+1)(x-1)(x-3)
=x3x²-x+3
よって、求める面積Sは
S=(x³-3x²-x+3)dx
+(-(x³-3x²-x+3))dx
=8
練習 265 次の不定積分,定積分を求めよ。
メー
=(-4+8+12-2)-(-4-8+12+2)
=12
別解 (与式)=
=2(8-2)=12
266 (1) 方程式
x(x-3)²=0を解くと
x=0.3
グラフは右の図のように
なり
0x3y≧0
0
3
よって, 求める面積Sは
S=Soxx-3)2dx=f(x)
(x3-6x2+9x)dx
9
--+--+-
81
27
==
-54+
2 4
267 (1) 曲線と直線の交点の座標は、
(1) S(2x³-
3-5x2+3)dx
(2) S(-x+3x2+6x-1)dx
□ 練習 266 次の曲線とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(2) y=x(x2-4)
(1) y=x(x-3)2
(1) y=x-3x,y=-2x
練習 267 次の曲線または直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(2) y=x-2x2,y=x2+6x-8
(2) 方程式(x2-4)=0 y
を解くと
x=-2,0,2
グラフは右の図のよう
になり
2xy≧0,
0≦x≦2yMO
よって, 求める面積Sは
x+Sol-
( -x3+4x)dx
=[2]+[ +2 ]
=-(4-8)+(-4+8)=8
[参考] y=x(x2-4) のグラフは原点に関して対称
s=5,xx2-4)dx+ {-x(x2-4)}dx
=S(-4x)dx+S(-
であるから,S=2x2-4)dx としてもよ
い。
J-2
x-3x=-2xの解である。
式を整理してxx=0
よって
ゆえに
(x+1xx-1)=0
x = 0. ±1
グラフは図のように
なり
-141407
x³-3x-2x
201
x3-3x≤-2x
よって, 求める面積Sは
s=${(x-3x)-(-2x)dx
+(-2x)-(x³-3x)dx
=S°(x_x)dx+S^(-x'+x)dx
++
●演習問題の解答
1
■考え方
どの文字に
のいずれた
1 (与式)=
2つの曲線の共有点のx座標は、方程式
x3-2x2=x2+6x-8の解である。
式を整理して3-3x2-6x + 8 = 0
よって
(x-1)(x²-2x-8)=0
(x-1)(x+2)(x-4)=0
ゆえに 2, 1, 4ストー
グラフは右の図のよう
になり
-2≤x≤1T
x3-2x2x2+6x-8
1≦x≦4で
2xx2+6x-8
よって, 求める面積Sは
-20
=-3(6
=-3(b
=-3(
=-3
-3a
(2) (与
=(b
S=S^_^{(x_2x2)-(x2+6x-8)}dx
+S, {(x²+6x−8)—(x³—2x²))dx
=(x³-3x²-6x+8)dx
+S(-x+3x²+6x-8)dx
x3-3x2+8x
=
2
781
