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基本
79 三角円,心
00000
次のこと
△ABCの∠B,Cの外角の二等分線の交点をIとする。 このとき、
を証明せよ。
(1) Iを中心として,辺BC および辺 AB, AC の延長に接する円が存在する。
(2) ZAの二等分線は,点Ⅰ を通る。
指針 (1)点Pが∠AOBの二等分線上にある
(類広島修道大
I から, 辺 BC および辺 AB AC の延長にそれぞれ垂線 IP, IQ IR を下ろし、これ
⇔点Pが∠AOB の2辺 OA, OB から等距離にあることを利用する。
らの線分の長さが等しくなることを示す。
(2) 言い換えると 「∠B, ∠Cの外角の二等分線と ∠Aの二等分線は1点で交わる
ということである。
よって、 点Iが∠QARの2辺 AQ AR から等距離にあることをいえばよい。
なお, (1) 円を △ABC の 傍接円 といい, 点Ⅰを頂角 A内の傍心という。
Iから,辺BC および辺 AB, AC の延長にそれぞれ垂線
解答 IP IQ IR を下ろす。
(1) IB は ∠PBQ の二等分線であるから
ICは∠PCRの二等分線であるから
よって IP=IQ=IR
なぜこう
1P=IQ>
IP=IR
3
B
Q
HA
基本
△ABCに
3AB+A
指針
解答
また, IP⊥BC, IQ LAB, IRICA であるから, I を中
心として,辺BC および辺 AB, AC の延長に接する円
が存在する。
(2)(1) より, IQ=IR であるから, 点Iは∠QARの2辺
AQ, AR から等距離にある。
ゆえに,点Iは QAR の二等分線上にある。
したがって, ∠Aの二等分線は, 点を通る。
冒榭
傍心・傍接円
[定理] 三角形の1つの頂点における内角の二等分線と、他の2つ
検討
の頂点における外角の二等分線は1点で交わる。
この点を1つの頂角内の) 傍心という。 また、 三角形の傍心を中
心として1辺と他の2辺の延長に接する円が存在する。 この円を,
その三角形の傍接円という。
1つの三角形において, 傍心と傍接円は3つずつある。
なお,これまでに学習してきた三角形における外心, 内心、重心、垂
心と傍心を合わせて,三角形の五心という。
B
