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角形であると
00000
直角二等辺 ミュ
◆算した後に
かどうか
MA
で判断
)² + (32₂-3²
自形」だけで
角が直角が
=,b)
,0)
直線AB
1),B(1) 直線BC をx軸に, 辺BCの垂直二等分線を軸にとると,
線分BCの中点は原点になる。 A (34,36), B(-c, 0),
C(c, 0) とすると,Gは重心であるから G(a,b) と表される。
AB2+BC2 + CA2
よって
(2₂ (1-)-8+!
きる。
(税込
基本例題
ると
72 座標を利用した証明 (1)
ABCの重心をOとする。このとき、等式
1 184BC
CAP=3(GA+B+CCB) が成り立つことを証明せよ。
((2) △ABCにおいて, 辺BC を 1:2に内分する点をDとする。 このとき, 等式
2AB2+ AC=3AD2 +6BD が成り立つことを証明せよ。
指針 座標を利用すると, 図形の性質が簡単に証明できる場合がある。 そのとき
座標軸をどこにとるか,
与えられた図形を座標を用いてどう表すか
がポイントになる。 そこで後の計算がらくになるようにするため, 問題の点がなるべく
多く座標軸上にくるように
0が多いようにとる。 .........
(2) は A(a,b), B(-c, 0),C(2c, 0)
(1) は A (3a, 36), B(-c, 0), C(c, 0) とすると, 重心の性質からG(a,b)
CHART 座標の工夫 1 0 を多く2 対称に点をとる
=(-c-3a)² +9b²+4c²+(3a−c)²+9b²
D=3(6a²+6b²+2c²)
行 GA2+GB2+GC2
|=(3a-a)+(36-b)^2+(-c-a)+b2+(c-a)+62
=6a²+662+2c2
......
[1]
①②から
AB2+BC2+CA2=3(GA2+GB2+GC2 )
(2) 直線BC をx軸に, 点Dを通り直線BCに垂直な直線を
y軸にとると,点Dは原点になり, A(a, b), B(-c, 0
C(2c, 0) と表すことができる。
よって
NOM B
2AB2+AC2=2{(-c-a)+(-6)^}+(2c-a)+(-b)2
= 2(c²+2ca+a²+b²)+4c²-4ca+a² + b²
8)2 &di
=3a²+362+6c²
Work
3AD2+6BD2=3(α² +62) +6c2
①②から 2AB2+AC2=3AD2+6BD2
基本71 基本 85
+²) 36 (2+(11--11
......
(-c,0)
X
0
A(3a, 3b)
YA
TS B/1
G(a, b)
A(a, b)
A
(c, 0) x
(-c, 0) OD
117
C
(2c, 0) x
3章
2直線上の点、
12
・平面上の点
-) (2) (IDAE (1)
コ三角
ET
72
講習 (1) 長方形 ABCD と同じ平面上の任意の点をPとする。 このとき,等式
PPPPD が成り立つことを証明せよ。 一
(2) AABCにおいて、辺BC を 1:3に内分する点をDとする。このとき,等式
3AB2+AC2=4AD'+12BD が成り立つことを証明せよ。
(p. 121 EXSO
