この問題の場合分けのところなのですが、各場合分けの答えを出した後に「これはa<1を満たす」と言ったような文言が解答にないのはどうしてですか？

と、次の 3 3章 13 1 2次不等式 重要 例題 120 連立2次不等式が整数解をもつ条件 000 xについての不等式x2-(a+1)x+α <0,3x2+2x-1>0を同時に満たす整数x がちょうど3つ存在するような定数 αの値の範囲を求めよ。 t [摂南大〕 基本 37 117 ①まず,不等式を解く。不等式の左辺を見ると、2つとも因数分解ができそう。 なお,x2-(a+1)x+α <0は文字αを含むから, αの値によって場合を分ける。 ②数直線を利用して、題意の3つの整数を見定めてαの条件を求める。 CHART 連立不等式 解のまとめは数直線 x2-(a+1)x+a<0 を解くと (x-a)(x-1)<0 から α <1のとき a<x<1 α=1のとき 解なし α>1のとき 1<x<a ① 3x2+2x-1>0を解くと (x+1)(3x-1)>0から x<-1.1/23<3 ①,②を同時に満たす整数x がちょうど3つ存在するの は α <1 または α>1 の場合である。 [1] α <1 のとき 3つの整数xは x=-4, -3, -2 [1] (2) -51-4-3-2-1011 1α=1のとき,不等式は (x-1)20 これを満たす実数 x は 存在しない。 実数 A に対し A2≧0 は 常に成立。 A'≦0 なら A = 0 A°< 0 は 不成立。 基本 解答 0は2枚 なお、 別するた している。 よって -5≤a<-4 a [2] α>1のとき [2] a 8 3 13 2 x x <-5<a<-4としないよ うに注意する。 a<x<-1の範囲に整数 3つが存在すればよいか ら, a=-5のとき, -5<x<-1となり条件 を満たす。 ●3 4 3つの整数xは よって x=2,3,4 4 <a≦5 [1], [2] から, 求める α -1 0 1 2 113 の値の範囲は -5≦a<-4,4<a≦5 +5 [2]のα=5のときも同 様。 (01-)=(x2) 不等号にを含むか含まないかに注意 検討 上の例題の不等式がx2-(a+1)x+α ≦ 0, 3x2+2x-1≧0 となると, 答えは大きく違ってく る (解答編 p.96 参照)。 イコールがつくとつかないとでは大違い!!

写真の線で引いている部分なぜ符号の向きが変わってるんですか？でも下の問題は符号の向き変わってないですよね教えてください

次の2次不等式を解け。 1) (x+5)(x+3)>0 x=-51-3 ゆく-511-3 (3)x+8x-920 (x-xxxx19) ca 9 0 イトミル

（2）で、最後の「xは任意の実数」の部分で、私は「xはすべての実数」だと思いました。何が違うのですか？ 教えてください。

例題 3-2 次の2次不等式を解け (1) 2x2+3x-3<0 1個 x 2 + x + 4≧0

二次方程式の質問です 解の一つである1と-1の時を考えるのはなぜですか？解説を読んでもよくわかりません

214 重要 例題 130 2次方程式の解と数の大小 (3) 00000 *Fix€x²+{2_a}x+4=2a=0&t=1 <x<10>}{}\ 解答 をもつような定数αの値の範囲を求めよ。 128, 1 指針 条件が 「-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」であることに注意。 大きく分けて次のA B の2つの場合がある。 A-1<x<1の範囲に,2つの解をもつ (重解は2つと考える) ® -1 <x<1の範囲に、ただ1つの解をもつ 方程式の2つの解をα, β (α≦β) として,それぞれの場合につ いて条件を満たすグラフをかくと図のようになる。 ®は以下の4つの場合がありうるので注意する。 ® [2] + a 1 B x または a -1<x<1 の範囲に1つ, <-1 または 1<x の範囲に1つ x= 2 である。 + 81 x ® [3] A [1] + 1<x<1 の範囲に2つ ® [4] a=―1 + + 1 x x=-1と1<x<1 の範囲に1つ -1 a B=1 x=1と1<x<1 の範囲に1つ 2-a x=- 2-1 204 a3 ①~④の共通範囲を求 21 解の1つが1<x (-a+3)(- または1<xにあるため ゆえに よって (a-3)(3a [3] 解の1つがx= (-1)=0から このとき、方程式は よって (x+1)(x ゆえに,解はx=- [4] 解の1つがx=1 f(1)=0 から このとき、方程式 よって (x-1) ゆえに、解はx=- 求めるαの値の範囲 2≦a< f(x)=x2+(2-a)x+4-2a とし, 2次方程式 f(x) =0 の 判別式をDとする。 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,その軸は直線 a-2 [1]2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条 件は,y=f(x) のグラフがx軸の1<x<1の部分と異 なる2点で交わる, または接することである。 すなわち,次の (i)~ (iv) が同時に成り立つことである。 (i) D≧ 0 (ii) 軸が-1<x<1の範囲にある (iii) f(-1)>0 (iv) f (1) > 0 (i) D=(2-α)-4・1・(4−2a) =a+4a-12=(a+6)(a-2) D≧0 から (a+6)(a-2)≥0 ゆえに am-6,2≦a ...... ① (x=472 について -1<> 2 <1 よって ゆえに -2<a-2<2 0<a<4 ...... ② (i) f(-1)=-a+3であるから よって a <3 条件は 「少なくとも1つ」 であるから,y=f(x 定数分離による解法 この問題は、方程式 もう)、2つのグラフが ONE Bx²+(2-a)x 方程式(*)が一 y=x^2+2x+4.. が1<x<1の と同じである 2点(2, ②が点(-1, ②がと グラフがx軸に接する 場合,すなわち, D= の場合も含まれる。 [1] -a+3>0 8-1 軸 ID=0 ついて D=0 図からa>0, la=2のとき よって、① は、グラフカ 130 つような定 方程式

6.7の解き方を教えてほしいです

6 2次不等式 -2x2+ax+b>0の解が -1<x< 2 となるように, 定数 α, bの値を定めよ。 20 7 2次関数 y=x2-2ax+α において, yの値が常に正であるように, 定数αの値の範囲を定めよ。

127番の問題がわからないです！ ただ一つの解を持つ時に3と4に別れるのはyの値の積が0になる時を考えてるのかなと思ったのですが、なぜ126番の問題だとそれを考えなくても良いのかが全くわからないです 誰か教えて欲しいです！すみませんがよろしくお願いします🙇‍♂️

196 基本 例題 126 2次方程式の解と数の大小 (2) 00000 2次方程式 ax²-(a+1)x-a-3=0が, -1<x<0, 1 <x<2の範囲でそれぞれ つの実数解をもつように,定数 αの値の範囲を定めよ。 重要 12 p.191 基本事項 指針 f(x) =ax²-(a+1)x-a-3 (α≠0) としてグラ [a>0] フをイメージすると, 問題の条件を満たすには y=f(x) のグラフが右の図のようになればよい。 すなわち f(-1) f (0) 異符号 la<0 y=f(x) e 0 1 + 0 2x [f(-1)(0) <0] y=f(x) かつ f(1) f (2) が異符号 [f(1)(2)<0] である。 αの連立不等式を解く。 CHART 解の存在範囲 f(p)f(g) <0ならpgの間に解 (交点)あり 解答 f(x)=ax2-(a+1)x-a-3とする。 ただし, a≠0 題意を満たすための条件は, 放物線y=f(x) が-1 <x<0, 1 <x<2の範囲でそれぞれx軸と1点で交わることである。 すなわち ここで f(-1)f(0)<0 f(1)f(2)<0 f(-1)=α(−1)-(a+1) (−1)-a-3=a-2, f(0)=-a-3, f(1)=α12-(a+1) ・1-a-3=-a-4, f(2)=α・22-(a+1) ・2-a-3=a-5 f(-1)f(0) <0から ゆえに よって (a-2)(-a-3)<0 (a+3)(a-2)>0 また,f(1)(2)< 0 から a<-3, 2<a ...... ① 2次方程式であるから、 (x2の係数) 0 に注意 注意指針のグラフからむ るように,a>0 グラフ に凸), a<0(グラブ 凸) いずれの場合も F(-1)/(0) <0 f(1)(2)< が、題意を満たす条件で よって、a>0のとき のときなどと場合分け て進める必要はない。 ゆえに よって (-a-4)(a-5)<0 (a+4)(a-5)>0 a<-4, 5<a... ① ② の共通範囲を求めて a<-4,5<a これはα=0を満たす。 -4-3 2 5

二次不等式が解けません この2枚目の自分のやり方がなぜダメなのか教えてください

187 基本事項 01 DO 重要 例題 1122次不等式の解法 (3) 191 次の不等式を解け。 ただし, αは定数とする。 (1) x²+(2-a)x-2a≤0 (2) ax²≤ax 基本110 文字係数になっても,2次不等式の解法の要領は同じ。 まず, 左辺 = 0 の2次方程式を 指針 解く。 それには ① 因数分解の利用 ②解の公式利用 が、ここでは左辺を因数分解してみるとうまくいく。 の2通りある 2次方程式の解α,βがαの式になるときは,との大小関係で場合分けをしてグ ラフをかく。もしくは,次の公式を用いてもよい。 a<βのとき (x-a)(x-B)>0⇔x<a, B<x (xa)(x-B) <0⇔a<x<B (2)x2の係数に注意が必要。 a0a=0,α<0 で場合分け。 CHART (xa)(x-3)の解α, B の大小関係に注意 の場合、左 形に。 に。 -1< ●場合、左の コピー4+50円 ての実数 v>0 (1)x2+(2-α)x-2a≧0から 解答 [1] a<-2 のとき,①の解は a≤x≤-2 [2] a=-2 のとき,① は (x+2)'≤0 よって,解は x=-2 [3] -2<αのとき, ① の解は (x+2)(x-a)≤0 ① [2] [3] x x a a 0 -2 -2≤x≤a 以上から a<-2のとき a≦x≦2 2-4x+10 a=-2のとき 2<αのとき (2) ax≦ax から ax(x-1)≤0. ① 0>(8-)(1 x=-2 -2≦x≦a [1]a>0 のとき, ①から x(x-1)≤0 両辺を正の数αで ときy=l ときy> よって,解は 2010- [2] α=0 のとき,①は 0x(x-1)≦0 これはxがどんな値でも成り立つ。意 よって、は すべての実数 [3] a< 0 のとき, ①から +6 ・軸は共有 これと 下に っては x0,1≦x 以上から x(x-1)≥0 >0 すべて a>0 のとき 0≦x≦1; a = 0 のとき すべての実数; a<0 のとき x≦0, 1≦x 割る。 ( となる。 は 「< または = 」 の意味で, <とのどちらか一方 が成り立てば正しい。 ①の両辺を負の数αで 割る。 負の数で割るから、 不等号の向きが変わる。 注意 (2)について, ax≦ax の両辺をax で割って, x≦1としたら誤り。 なぜなら、 ax = 0 のときは両辺を割ることができないし, ax < 0 のときは不等号の向きが変わ るからである。

24(2)について質問です。 青線部はなぜ-1<a<0、0<a<1/3ではないのですか？

54 第2章 2次関数 55 標問 24 すべての(ある) に対して... 不等式 ax²+(a-1)x+a>0について, (1) すべての実数に対してこの不等式が成り立つような定数αの値の範囲 を求めよ. この6つのグラフを考えると, すべての実数 に対して ax2+bx+c > 0 となるのは, a>0, (D=) b2-4ac<0 のときであることが納得できるでしょう. 次に, ・解法のプロセス ar2+bx+c>0 (a≠0) となる実数ェが存在する。 > または 62-4ac>0 (2)この不等式を満たす実数が存在するような定数αの値の範囲を求めよ. (千葉工業大・ 改) ax2+bx+c>0 となる実数xが存在する 条件はどうでしょうか. 精講 2次不等式 ar²+bx+c>0 (α≠0) について考えることにします。 この2次不等式が すべての実数xに対して成 立する条件を調べてみましょう. 解法のプロセス 前の6つのグラフを見ると, α > 0 ならO.K. です.そして,a <0 でも、 (D=) 624ac0 な らO.K. です.つまり ◆グラフがx軸より上側の部分 に(も)あればよい すべての実数に対して ax2+bx+c>0 (a≠0) a0 または (D=) 62-4ac > 0 が条件となります。 ↓ a>0 かつ 6-4ac < 0 y=ax2+bx+c (a≠0) のグラフを利用して考 えるとわかりやすいです. 解答 すべての実数xに対して ax+bx+c>0 となるのは, y=ax2+bx+c のグラフがx軸より上に浮い ていることです. いいかえると, y=ax2+bx+c a>0 (a-1)2-4a²<0 下に凸で,軸と共有点をもたないこと, つま りα > 0 かつ (D=) 62-4ac < 0 が条件です。 αの符号, Dの符号によって, y=ax2+bx+c のグラフは次のようになります。 a>0 のとき (D=) b2-4ac>0 (D=) 63-4ac=0 (D=) b2-4ac <0 + + + ax2+(a-1)x+a>0 ......(*) (1) α=0 のとき (*)は-x>0 となり, これを満たすェは x < 0 である. 次に, α≠0 のときについて調べる. すべての実数に対して2次不等式 (*) が成り立つ条件は である. (α-1)^-4a²<0 より (a+1) (3α-1)>0 よってa<-1, 1/32 <a a>0であるから 1/18<a (2)(i) a=0 のとき, (*) を満たすxが存在する. (ii) α=0 のとき, (*) を満たす実数ェが存在する条件は a>0 または (α-1)^-4a²>0 である. (a-1)2-4a2>0より 1<a</1/23 -3a²-2α+1 <0 より, 3a²+2a-1>0 の係数が正またはD>0 ◆ェの係数が正かつ D<0 α < 0 のとき (D=) 62-4ac>0 (D=) 62-4ac=0 (D=) b2-4ac<0 よって, -1<a (ただし, a≠0) したがって, (i), (ii)より -1<a ◆α≠0 のときについて調べて いる © + ① 演習問題 24 すべての実数xについて, ar'+(a-1)x+α-1<0 が成り立つような αの値の範囲を求めよ. 第2章

（2）と（3）の考え方を教えてください！

6.xの2次不等式x2ー (a+1)x+a<0について,次の問いに答えよ。 (1) a=1のとき, 不等式を解け。 (2)a=1のとき,不等式を解け。 (3) 不等式を満たす整数xが1個だけ存在するようなαの値の範囲を求 めよ。 20

なんでｘ=αって置いてるのか教えて欲しいです。あと、①と②の式を引き算してるのって、①と②を合体させるためですか？それぞれ別で考えることってできますか？合体させる方法が思いつかなかったんですけど、そういう思考力ってどうやってつけるものですか？

80αを定数とする。 2つの2次方程式 2x2-ax-(2a+2)=0, x2-(a+2)x+(a+7)=0 の共通解が1つだけあるとき, その共通解は あり,a=である。 〔18 慶応大]