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イ
●82次関数の最大・最小/定義域が動く場合
a を実数とする. 定義域がa≦x≦a+4である関数f(x)=-x-4-6の最大値はαの関数で
あるので,これをM (α) と表す. 同じく, 最小値をm(α) と表す. M (a), m (α) を求め,
b=M(a), b=m(a) のグラフを ab平面に (別々に) 書け.
( 名古屋学院大)
最大・最小となる候補を利用 前問は, 定義域が一定区間に決まっていて, 関数の方が変化したが,
本間は, 関数の方が決まっていて, 定義域の方が動く問題である。 とは言っても, 前問と同様に解くこ
とができる.ここでは, 前問と違うアプローチを紹介しよう. (なお,これらの解法は, 関数と定義域が
ともに変化するときも通用する.)
左ページの①~⑦のグラフから分かるように, y=d(x-p2gのグラフが下に凸の場合,
区間α≦x≦B における最小値は,
x=が区間内にあれば, 頂点のy座標 q
そうでなければ, 区間の端点での値f (α), f (B) のうちの小さい方
区間 α≦x≦ β における最大値は, 区間の端点での値f (α), f (B)のうちの大きい方
である. 結局, 「最大値や最小値になる可能性のある点は、頂点と両端点の3つのみ」 であるから,
「頂点のy座標(頂点が区間内にあるとき) および区間の端点のy座標からなる3つのグラフを描い
ておき, 最も高いところをたどったものが最大値のグラフ, 最も低いところをたどったものが最小
値のグラフである」
これは,グラフが下に凸な場合のみならず, 上に凸な場合についても成り立つ。
解答量
y=f(x)のグラフは上に凸である. f(x)=(x+2)2-2 (a≦x≦a+4)
であるから, 頂点の座標がa≦x≦a+4にあるとき (←a≦-2≦q+4),
すなわち, 6≦a≦-2のとき M(a)=f(-2)=-2
DA
それ以外のとき,
M (a) = max{f (a), f (a+4)}
つぎに, f (x) の最小値は定義域の端点で取るから,
m (a) =min{f (a), f(a+4)}
ここで,f(α)=-(a+2)2-2
f(a+4)=-{(a+4)+2}2-2=-(a+6)2-2
であるから,b=f(a), b=f(a+4) のグラフは図1のようになる.
よって, b=M(a), b=m(a) のグラフは、 図2, 図3の太線である.
図1-6-4-260
図2-6
-2 bo
図3
-4
a
b=-2
a
-2
←max {p, g} は,p, q のうちの大
きい方(小さくない方) の値を表
す (min{p, q} は, p, q のうち
の小さい方(大きくない方) の値
を表す).
←一般に b=f(α+4) のグラフは,
b=f(α) のグラフをα軸方向に
-4だけ平行移動したものである.
(p.32, 5.1)
-6
b=-(a+2)-2
b=-(a+2)
-2
-6
b=f(a+4) b=f(a)
b=-(a+6)²-2
b=-(a+6)-2
