-
![]()
50
第2章 複素数と方程式
基礎問
30 高次方程式
3次式(2-1)x-2(a-1)x+2
を因数分解せよ.
に関する方程式
x³-(2a-1)x²-2(a-1)x+2=0 com
(2) (1)より (x+1) (2-2ax+2)=0
......①
x=-1, x²-2ax+2=0.2
①が異なる3つの実数解をもつので、 ②がx=-1
以外の異なる2つの実数解をもてばよい。
②がx=-1 を解い
が異なる3つの実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
よって,
[(-1)²=2(-1)+2+0
a²-2>0
わざわざおく意味
とは?
もつと異なる3つ
解にならない
(1)3次式の因数分解といえば, 因数定理 (27)
もちろん、これで解答が作れます (解I) が, 数学Ⅰで
a
2
la<-√2√2<a
い文字について整理する
文字が2種類以上ある式を因数分解するときは, 次数の一番低
注
ということを学んでいます。 (I・A4
Ⅱ)
復習も兼ねて、こちらでも解答を作ってみます (解ⅡI )
解答
(1) (解Ⅰ)
f(x)=-(2a-1)-2(α-1)x+2 とおく.
f(-1)=-1-(2a-1)+2(a-1)+2
(2)(1)より(1次式) (2次式)=0 の形にできました。
(1次式) = 0 から解が決まるので,(2次式) =0が異なる2つの実数解を
もてばよいように思えますが、これだけでは不十分です.
注
は因数分解できないので, (判別式) >0 を使います.
2-2ax+2=0
したがって, 求めるαの値の範囲は
a<- 12/1-12/21 <a<-√2,√2<a
(1) (解I) と (解ⅡI) の違いは, (解I) では f (x)のxに何を代入
するかを自分で見つけてこないといけないのに, (解ⅡI) ではその必要
定数項の約数
最高次の係数の約数
がありません. 代入するæは,土
しかないこと
が知られています. だから, 代入するxの値の候補は±1, ±2の4つ
しかないのです.
2
< 「f(x)=」 とおくの
ポイント 高次方程式は, 2次以下の整式の積に因数分解して考
える
=-1-2a+1+2a-2+2=0
は,因数定理を使う
準備
注
因数分解できなくても、 このあと学ぶ微分法を使うと解決します。 (95)
よって, f(x)は+1 を因数にもち,
xに数字を代入した
(解Ⅱ)
f(x)=(x+1)(x2-2ax+2)
x³-(2a-1)x2-2(a-1)x+2
ときに, αが消える
演習問題 30
ことから, f(-1)=0
を想像する
複素数 1+iを1つの解とする実数係数の3次方程式
x+ax²+bx+c=0
......①
=(z+x2+2x+2)-2('+xa
について,次の問いに答えよ.
(1) b, c をαで表せ.
=x2(x+1)+2(x+1)-2(x+1)a
=(x+1){(x2+2)-2ax}
=(x+1)(x-2ax+2)
(2) ① の実数解をαで表せ.
(3) 方程式 ①と方程式 - bx+3= 0 ･･････ ② がただ1つの実数解
を共有するとき, a, b c の値を求めよ.
