第1節 数列の極限25
第2章
応用問題
例題 8 無限級数の性質
次の無限級数の収束, 発散を調べ, 収束するときはその和を求めよ。
(1)
(2)
1+
45
23
12
+
19
45
+
67
8
8
+
9
9
+
13
+
14
1
1
1
+ + + +......
9 8 27
(考え方) 本例題の無限級数の部分和 S を1つの式で表すことは難しい。 ここでは,まず
{S2n}, {Szn-1} の極限をそれぞれ調べる。 ともに同じ値αに収束するなら和はα, そ
れ以外なら発散である。
a+b+a2+bz+....+a+6+･･････ を機械的に (a1+a2+......)+(61+b2+......)
としてはいけない。
第n項までの部分和をSとする。
解答
2 4 4 6
(1) Szn=
+
+
3 5 5 7
6 7
S2n-1=S2n-(-2n+2) = 2 ((x)e
2n
2n+2
+
=
2n+1 2n+3
23
2n+2
2n+3
T
23
2|3|n
3
2+
2+
よって
limS2n=lim
7218
n→∞
23
L
113
2-3
limS2n-1=
→00
したがって, 無限級数は発散する。
1 1
3)+(1/2+1/+1/
(2) S₁ = (1 + ½ ½ + ½ ½ ++ | ) + ( 1 + 1 + 1 + + 1 )
San
3 9
3n-1
=/12/11-(1/3)}+{1-(1/1)^
4 8
1
S2-1=Szn-
2"
3
よって
→00
lim S2n=
S26=2+1=12, limSox-s-lim(Sun-
=
(San-12/21)=1/12/2
2"
52
5-2
0
豊市するときはその和を求めよ。
したがって, 無限級数は収束して, 和は
