(2) 定点A(2, 0, 3), B(1, 2, 1)と,xy 平面上を動く点Pに対し、 1
基本 例題49 ベクトルの大きさの最小値
一習| (1) 原点0と2点A(-1, 2, 一3), B(-3, 2, 1) に対して,
) &=(2, 1, 1), 万=(1, 2, -1) とする。 ベクトルa+tb の大きい
カ=(1-)OA++OBとする。|の最小値とそのときの実数tの値を求める
0000
8
最本9,数学1面れ
の最小値を求めよ。
(2) 平面上では,
に従い,右の図のようにして
AP+PB=AP+PB'2APo+P.B'=AB'
A。
空間においても同様の考え方で求められる。
解答
p.397 基本例題9と同。
領の解答。
ゆえに
1
9
=62+6t+6=6(t+
2
46t°+6t+6
2
=6(+t)+6
よって,G+t6fはt=-
のとき最小となり,
2
G+t5|20 であるからa+tó|もこのとき最小になる。
ーのとき最小値
参考 +tbが最小にな
のは,ā+616のときてな
る。p.397 参照。
9
3
三
したがって
t=ー
2
V2
(2)xy 平面に関してAとBは同じ
側にある。
そこで, xy 平面に関して点Bと対
称な点をB’とするとB'(1, 2, -1)
であり, PB=PB'であるから
AP+PB=AP+PB/2AB'
よって, Pとして直線 AB'と xy平
面の交点P。をとると AP+PBは最
小となり,最小値は
AB'=(1-2)°+(2-0)+(-1-3) =D<21
z座標がともに正である。
ら。この断りは必要
A,
1
検討
「2点間の最短経路は、2
結ぶ線分である。」
(2)ではこのことを利用する。
OB?
1
12
Po
B!
4P(
となる。
49
(2) 定点A(-1, -2, 1), B(5, -1, 3)と, zX
AP+PBの最小値を求めよ。
平面上の動点Pに対し
