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51 体積 Ⅱ
解
B
514. xz 平面上の放物線z=1-xをAとする。 次にyz平
面上の放物線z=1-2y2 をBとする。 B を, その頂点
が曲線A上を動くように, 空間内で平行移動させる。
そのときBが描く曲面をSとする。 S と xy平面とで囲
まれる立体の部分をTとする。
(1) 平面 x=t (-1≦t≦1) によるTの断面積をS(t)
とするとき, S(t) を tの式で表せ。
(2) 立体の体積V を求めよ。
*515.xyz空間において, 4点O(0, 0, 0), A(1, 0, 1),
研究例題 83
分法
B(0, 1,0), C(0, 0, 1) がある。 線分AB, AC, OB
を軸のまわりに1回転して囲まれる立体をTとする。立
立体の体積を求めよ。
xyz空間において, 3点A(0, 1,0),B(1, 1,0),
C(0, 1, 1) がある。 ABCを軸のまわりに1回転
するとき, △ABCが通過してできる立体をTとする。
(1) 平面 z=t (0 ≦t≦1) によるTの断面積をS(t) と
するとき, S(t) をtの式で表せ。
(2) 立体Tの体積V を求めよ。
(1) 右の図のように点P, Q, R をとると, P(0, 0, t),
Q(0, 1, t), R (1-t, 1, t), QR=CQ=1-t
より
S(t) =π PR-PQ2
=
=
(2) V-S(t)dt = x(t-1)³ dt
V=
π
3
=ñ(PR²—PQ²)=7QR²
=(1-t)2
=(t-1)2
x 1
B.
B
P
0
B
NOT
0
~S(t)
△PQR は直角三角形。
*516.xyz空間において, yz 平面上の 0≦z≦cosy,
sys で表される領域をDとする。 点 (1, 0, 0) を
通り,y軸に平行な直線をl とし, 直線ℓを軸として
領域Dを1回転させるとき, Dが通過してできる立体
→例題83
をTとする。 立体Tの体積Vを求めよ。
研究例題 84
に1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
曲線 y=x2-2x と 直線 y=xとで囲まれた部分を、次の回転軸のまわり
(1) y 軸
であるから,
lim
1/4x0 4x
(1) 区間 [x, x+4x] の部分をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積
AV は , 4x が十分に小さいとき
AV=2πx{x-(x2-2x)}・4x
AV_dv
dx
(2) 直線 y=x
-=2πx(3x-x2)
また, y=x2-2x と y=x との交点の
x座標は ,
よって,
0, 3
よって,
B
y=x/
-2πx
V=
v=S2x (3x-x²)dx= x (x²-2x)
y=x2-2x
14x
円柱の側面を開いたもの
3x³.
v=Sz(3x − x²) ². 2 dx = 72 |
√2
●扇形の面積をSとすると, 半径r, 弧の長さlのとき,
\x+4x
=2xx²-x²-3x
(2) 区間 [x,x+4x] の部分を直線y=x のまわりに1回転してできる立体の
体積 ⊿V は, ⊿x が十分に小さいとき,
1
AV=π{x-(x2-2x)}2.- ・4x 弧の長さ2mPH
であるから,
√√2
AVdV
4x-0 4x
limi ==7 (3x-x²)² + √2
dx
yA
PQ
x-(x²-2x)
円錐の側面を開いたもの y=x
4xHX
20
517. 研究例題 84 (1)の方法を用いて,次の問題の体積V を求めよ。
(1) 108ページの例題 81
*(2) 109ページの510
111
π
20
l
S=r².. = πr².
2лr
√3 x
xx+4x
2π PH
2A-PQ
例題84 (1)
518. 曲線 y=x² と直線y=xとで囲まれた部分を, 直線 y=xのまわりに1回
転してできる立体の体積Vを、次の2通りの方法で求めよ。
発展* (1) 研究例題 84 (2)の方法
(2) 直線y=xに垂直な断面積を積分する方法
第6章
例題 84 (2)
