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数学 高校生

回答の波線の>0をつけれる理由を教えて頂きたいです

(3) 漸化式を変形して, 一般項 anをnの式で表すのは難しい。そこで, (2)で示した不等 1p.174 基本事項3,基本 105 OOO00 192 里要 例題113 漸化式と極限 (5) … はさみうちの原理 (2) 3-an+1<る(3-an)を証明せよ。 3 (1) 0<an<3を証明せよ。 (3) 数列 {an} の極限値を求めよ。 (類神戸大 指針> (1) すべての自然数nについての成立を示す→数学的帰納法 の利用。 (2)(1)の結果,すなわち an>0, 3-an>0 であることを利用。 式を利用し,はさみうちの原理 を使って数列(3-an} の極限を求める。 はさみうちの原理 すべての nについて pnミ anSgn のとき lim pn=limgn=αならば liman=α n→0 n→0 n→0 なお,次ページの補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) 0<an<3 のとする。 [1] n=1のとき,与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<as<3 n=k+1のときを考えると, 0<ax<3であるから (数学的帰納法による。 10<a<3 an+1=1+V1+ak >2>0. aた+1=1+V1+a <1+V1+3 =3 40<a。 から 1+a>1 ~w Aa<3から 1+a <2 したがって 0<ab+1<3 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 (2) 3-an+1=2-/1+an = 3-an 2+V1+an (3-an>0であり, a,>0か ら 2+/1+a,>3 (3) (1), (2) から 0<3-a.s(-)(3-a) 1 n-1 1n-1 n22のとき,(2) から ()(3-a)=0であるから ロ lim 3-a<ロ-0) <(a-a <ロ) n→0 lim(3-an)=0 n→0 したがって liman=3 n→0 -1

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数学 高校生

写真の右側の「つねに正か、つねに負か」は間違い!! が、なぜ間違っているのかわかりません。どなたか説明をお願いします。

10 極値をもつ条件 - aを実数とする.関数f(z)= ax+cos.z+ -sin2.rが極値をもたないように, aの値の範囲を定 2 めよ。 (神戸大·理系) 微分可能な関数が極値をもつとき の解の前後でf'(x)が符号変化しなければ極値をもたない. 極値をもたない条件は,f'(x)が符号変化をおこさない(つねに0以上, またはつねに0以下)こと である。 文字定数を分離してとらえる場合 符号は,曲線y==g(z)と直線y=aの上下関係で判断することができる。y=g(x)がy=aの下側にあ ればf(z)>0, 上側にあればf'(z)<0である。このように, 文字定数aが分離できれば, 定曲線 y=g(x)と, x軸に平行な直線y=aとの上下関係を調べればよいので, とらえやすい。 f'(x)30であることのみに注目してはいけない. f'(z)=0 f'(x)の符号がa-g(z)の符号と同じになるとき, f'(z)の 「解答量 1 -sin2.r 2 f(z)=ar+cos.z+ . f'(z)=aーsin.r+cos2.r=a-(sinz-cos 2.r) f(x)が極値をもたない条件は, f'(z)がつねに0以上か, f'(z)がつねに0以下であること 0 合f(z)が符号変化しない, が条件。 なお,「つねに正か, つねに負」は 間違い!!なので,要注意 である。 g(z)=sin.z-cos 2.r とおくと, なんで?? 9 g(x)=sin.r-(1-2sin?z)=2{( sin.z+ 8 この範囲にy=g(x)がある。 -1Ssin.r<1であり, sin.z=1のときg(x)は最大となり, g(x)=1-(1-2)=2 であるからg(z)の取り得る値の範囲は, 49 a リ=a 2 9 号()6=- 0 f(x)=a-g(xr)であるから, ①となるaの範囲は, 9 または 2<a 8 aS- 010 演習題(解答は p.59) f'(x)の符号変化の回 数を調べる。aを分離す るが、完全に分離しない 方がよい。 の極大値と極小値のそれぞれの個数をa 22-1 I-a aを正の定数とするとき, 関数f(x)= の値によって場合分けして答えよ。 (滋賀県立大) A5 9|8

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