指針> n=k+1の場合に (k+1)°が現れるが, この展開には二項定理 (数学IⅡ)を利用する。
フェルマの小定理に関する証明
重要 例題139
OOOO0
救学的帰納法によって証明せよ。
【類茨城大)
基本136
カーk+1の場合に (k+1)”が現れるが, この展開には二項定理(数学I)を利用する。
(k+1)°=k°+C,ke-1+Cake-?+… .Cp-ポ+,Cp-ik+1
(k+1)°-(k+1)= Cike-1+Cake-2+ +Cp-k+,Cp-k+l°-k
nーkのときの仮定より, kピーkはかで割り切れるから, ,Ci, Ca, , C-iすなわち
よって
C,(1Srsp-1) がpで割り切れる ことを示す。
解答
4合同式(チャート式基礎からの数学 A)を
利用してもよい(解答編 p.427 参照)。
「n°ーnはpの倍数である」 を①とする。
[1] n=1のとき 1°-130
よって,① は成り立つ。
のとおける。
[2] n=k のとき①が成り立つと仮定すると, k"ーk=pm (mは整数)
n=k+1のときを考えると, ②から
(R+1)°-(k+1)=k°+,Cik-1+CakP-2+… +Cp-sk?+,Cp-e+1ー(k+1)
=CkP-1+,Ck-2+… +Cp-k+,Cp-k+pm
p.
3
(カ-1)!
r(rー1)! (カーア)!
2.n.Cr-1
p!
ACr=(カーr)!
%D
D
ア
1Srsp-1のとき
pは素数であるから, rとかは互いに素であり, Crはpで割り切れる。
ゆえに,3から,(k+1)°ー(k+1) はpの倍数である。
したがって、n=k+1 のときにも①は成り立つ。
「1「21 から、すべての自然数nについて、 n°ーnはpの倍数である。
よって
r. C,=DかCrー
