数学Ⅱ-47
練習 (1) 2次方程式x²ー(k+6)x+6=0の解がすべて整数となるような定数kの値とそのときの整
053
数解をすべて求めよ。
(2) 定数とする。 x2+px+2p=0の2つの解α, βがともに整数となるとき,組
(a, B, p)をすべて求めよ。
(1) 2つの整数解を α, B(α≦B)とする。
解と係数の関係から a+β=k+6,αβ=6
α β は整数であるから, kも整数である。
aβ=6から
(a, B)=(-6, -1), (-3, -2), (2, 3), (1, 6)
また,k=α+β-6であるから
[(2) 類 関西大〕
2
←重解のとき α=β(1)
練
←a, B(a≦B) は6の約
-
k=-13, 11, -1, 1
数である。
よって k=-13のとき x=-6, -1;
k=-11 のとき x=-3, -2;
k=1のとき x=2,3;
k=1のとき
x=1,6
(2) 解と係数の関係から
a+β=-p, aβ=2p ...... ①
←第1式から
pを消去すると
αβ=2{-(a+β)}
p=-(a+B)
変形して
(α+2) (β+2)=4...... ②
←αβ+2(a+β)+4=4
ここで, p>0であるから, 1 より a+β < 0, aβ > 0
よって α <0.β<0
←p>0の条件を利用。
ゆえに α+2<2,β+2 <2
α, βがともに整数のとき, α+2, β+2 も整数であるから, ②
(a+2, B+2)=(-4, -1), (-2, -2), (-1, -4)
よって (a, B)=(-6, -3), (-4, -4), (-3, -6)
p = -(a+β) であるから, 求める (α, β, p) の組は
(a, B, p)=(-6, -3, 9), (-4, -4, 8), (-3, -6, 9)
(1)と同様にα≦βの仮
定をつけて進め, 後から
α≦βの制限をはずす,
という流れでもよい。
