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例題 43 隣接3項間の漸化式 (3)
0000
この階段の
(nは自然数) ある階段を1歩で1段または2段上がるとき,
方の総数を α とする。 このとき, 数列 {an} の一般項を求めよ。
数列 {an} についての漸化式を作り,そこから一般項を求める方針で行く
1歩で上がれるのは1段または2段であるから,n≧3のときれ
7段に達する
直前の
作を考えると [1] 2段手前 [(n-2) 段] から2歩上がりで到達する方法
[2] 1段手前 [ (n-1) 段] から1歩上がりで到達する方法
の2つの方法がある。 このように考えて、 まず隣接3項間の漸化式を導く。
→
漸化式から一般項を求める要領は, p.476 基本例題41と同様であるが、
ここで
特性方程式の解α. βが無理数を含む複雑な式となってしまう。計算をらくに
ためには,文字 αのままできるだけ進めて、最後に値に直すとよい
α=1, a2=2である。
解答 n3のとき, n段の階段を上がる方法には,次の [1], [2] の
場合がある。
[1] 最後が1段上がりのとき, 場合の数は (n-1) 段目まで
の上がり方の総数と等しく
an-通り
[2] 最後が2段上がりのとき、 場合の数は (n-2) 段目まで
の上がり方の総数と等しく
an-2通り
[1]
最後に1段上がる
n段
n=2
[2] 最後に2段上がる
n段
ここまで an-1 通り
(n-1) 段
(-2) 段
ここまでα-2通り
もっていく。
| (n-1) 段
よって
an=an-1+an-2(n≧3)
......
(*)
dants antitan (n ≥1) ①と同値である。
x=x+1の2つの解をα,β(α<β) とすると, 解と係数の
関係から α+β=1, aβ=-1
①から
an+2-(a+β)an+1+aBan=0
よって
an+2-dan+1=β(aniュ-aan) az-aa=2-a
......
an+2-Ban+1=α(an+1-Ban) a2-ßa=2β...... ③
和の法則 (数学
(*)でnnt
特性方程式
x2-x-1=0の
x=
1±√5
2
a=1, a2=2
から
③から
an+1-aan=(2-α)+
.....
◄ar"-1
an+1-Ban=(2-β)α7-1
④ ⑤ から (β-α)an=(2-α)β"-1-(2-β) an-1
......
(6)
an+1 を消去。
1-√5
a=
1+√5
B=
2
ラ
であるからβ-α=√5
α,β を値に直
また, α+β=1, a2=α+1, B2=β+1であるから
2-α=2-(1-β)=β+1=β2 同様にして
12-a, 2-B
2-B=a²
はαβの
よって、⑥から
an=
1+√5 \n+1
√(1+√5)-(1-√5)
|-
④ 43
a=a2=1, an+2=an+1+3an
練習 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
代入しても
ここでは計算を
ている。
類
