なぜ外部なのに「1」を考えるのですか？ 周上って外部にあたるんでしょうか。

重要 例題 135 2 接線の交点の軌跡 楕円 117 直交するような点Pの軌跡を求めよ。 2 12 17+g=1の外部の点P(a,b)から,この楕円に引いた2本の接線が 00000 [東京工大 ] 基本130 CHART & THINKING 社 2次曲線の接線 接点 重解 判別式 D=0 判別式 D=0万の他の範菌を求め 点P(a, b) を通る直線 y=m(x-α)+b を楕円の方程式に代入して得られるxの2次方程 基本例題 130 を振り返ろう。 式の解について, どのようなことが成り立つだろうか? 直交 傾きの積が-1と解と係数の関係を用いることに注意。 → 解答 (S) の接 [1] α = ±√17 のとき b=±2√2 (複号任意)2本の接線のうち1本 がx軸に垂直な場合。 [2] a≠ ±√17 4 y 点Pを通る傾きの直線の方程式はy=m(x-a)+b これを楕円の方程式に代入して」を消去すると 5 1220 {mx+(b_ma)}2 eer 整理するとの接線で直線 x2 + 178(共1円 (17m²+8)x2+34m(b-ma)x+17{(b-ma)^-8}=0 1 2√2、 P(a,b) ある曲 15 =1 -57 017 x 平行なものをすべて求め 17 -5 -2√2 方程式の判別式をDとすると(b-ma)のまま計算す ると、判別式の計算がス

この問題の α>1かつβ>1←→(α-1)+(β-1)>0かつ(α-1)(β-1)>0となるのはなぜですか。 教えてください。お願いいたします。

例題 11 2次方程式 x2+2mx+6-m=0が,1より大きい異なる2つの解を 指針 もつように,定数の値の範囲を定めよ。 2つの解をα β とすると,α, βと1との大小について α>1 かつβ>1⇔ (α-1)+(B-1)>0 かつ (α-1)(8-1)>0 解答 2次方程式 x2+2mx+6-m=0の判別式をD, 2つの解をα β とする。 この2次方程式が異なる2つの実数解をもつための必要十分条件は D>0 801 ここで 1/2=m²(6-m)=(m+3)(m-2) よって (m+3)(m-2)>0 ゆえに m<-3,2<m ..... ① また,α>1 かつ β>1であるための必要十分条件は 201 (a-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0 すなわち α+β-2>0 かつ aβ-(a+β ) +1 > 0 ここで,解と係数の関係により, α+β=-2m, af=6-m であるから 2m-2>0 かつ 6-m-(-2m)+1>0 103 よって m<-1 かつ ①と②の共通範囲を求めて >-7 すなわち -7<m<-1 *****Y ② -7<m<-3 答 ✓ 116 2次方程式 x2+2mx+2m²-50 が,次のような異なる2つの解をもつよ うに, 定数 m の値の範囲を定めよ。 (1)

色をつけてある部分の計算について教えてください！ どうしてこうなるのか分かりません！

書分区間 に含まれるか 合分けする。 )-3ax +2bx +o リンガ くと における接線が y=x+6であるから D=(-1)=5) 線が y=10x-12であるから (2) = 10,5(2)8 これを解いて (-1)=3a-26+c=1 S(-1)=-a+b-c+d=5 S'(2)=12a+b+c=10 S (2) = 8a+4b+2c+d=8 a = 1,6=0, c = -2,d=4 これは0 を満たす。 したがって f(x)=x-2x+4 ()=3x+2ax+b 求める条件は、2次方程式 f'(x) = 0 が異なる2つの実数解α をもつことである。 詳しく、パー したがって, 2次方程式 3x2 +2ax+b=0 の判別式をDとす ると D= a²-36 4 であるから,求める条件は a²-36>0 (2) α, βは, 2次方程式 f'(x) = 0 の異なる2つの実数解であ るから,解と係数の関係より α+B=_2 a, aß. b = 3 d 2 式に したときのの 3次関数f(x) もつのは、2 f(x) =0が の実数解をも る。 よって a=― 3 3 (α+B), 6=3af 2 (3)f(a)-f(B)= (a + aa + ba) (B'+a2+bβ) =(a³-ß³) + a(a² - B²)+b(a-B) 3 =(°_°)-1/2(a+B)(2-B2)+3aß(a-B) 3 = (a−B) { (a² + aẞ + B²³) — ³ ³ (a + B)² + 3aß} = | [別解] f'(x) = 3x²+2ax+b=3(x-α)(x-β) であるから B\dr (2) の

(2)の「2」の意味が理解できません。なぜ解が傾きになっているのでしょうか。

41 (1) x+9y2=9 ....... 1 ② y=mx+k ②①に代入して整理すると (9m2+1)x2+18mkx+9k2-9=0 このxの2次方程式の判別式をDとすると = D =(9mk)2-(9m2+1) (9k2−9) 4 =-9(k2-9m²−1) 直線②が楕円 ①に接するのは, D=0のときで ある。 k2-9m²-1=0より k=±√9m²+1 (2) 点Pの座標を (a, b) とする。 接線y=mx±√9m² +1が点Pを通ることから よって b=ma±√9m²+1 (b-ma)2=9m²+1 式を整理すると -S (a2-9)m²−2abm+62-1=0 ...... ③ また,Pは円 x2+y2=10上にあるから a2+62=10 [1] α2-9=0のとき ④ から 62=1 このとき,③から つかしん。30 m=0MAE よって, PからCに引いた2つの接線の方程 式は =bx=a この2直線は直交する。 [2] α2-9≠0のとき お ③をの2次方程式と考える。 この2次方程 式の判別式をDとすると, ④より -=(−ab)² - (a²-9)(6² – 1) =a262+(a2-9)20 よって, ③は異なる2つの実数解 mm2を もつ。 解と係数の関係と④から 62-1 9-a² mm2= = -=-1 a²-9 a²-9 傾きの積が−1であるから, 2つの接線は直交 する。 [1], [2] から, 2つの接線は直交する。 0$ =1

展開の仕方が解説を読んでもよく分かりません。 分配法則ですか？

(3) (a+1)(ẞ+1)(+1) =(aß+a+B+1)(+1) = aẞr+aß+ẞr+ra+a+B+r+1 = aẞr + (aß + Br+rα) + (α + B +r) +1 =−4+2+3+1=2

この問題の解説お願いします！！

問2 2次方程式 2 -a + 2 = 0 が異符号の実数解をもつとき,実数の定 数αの範囲はα>ツである。

丸したところが，どうしてそのように言えるのかわからないので教えてください

478 重要 例 43 隣接3項間の漸化式 (3) n段 (nは自然数) ある階段を1歩で1段または2段上がるとき、 がり方の総数をα とする。 このとき, 数列{an}の一般項を求めよ。 この 指針 数列{a} についての漸化式を作り、そこから一般項を求める方針で行く。 1歩で上がれるのは1段または2段であるから, n≧3のとき En段に達する 作を考えると [1] 2段手前 [(n-2) 段] から2歩上がりで到達する) [2] 1段手前 [(n-1) 段] から1歩上がりで到達する方法は の2つの方法がある。このように考えて,まず隣接 3 項間の漸化式を導く。 →漸化式から一般項を求める要領は, p.476 基本例題41と同様であるが、 特性方程式の解α, β が無理数を含む複雑な式となってしまう。 計算をら ためには,文字 α βのままできるだけ進めて、最後に値に直すとよい α=1, a2=2である。 解答 n3のとき, n段の階段を上がる方法には、次の [1], [2] の 場合がある。 - [1] 最後が1段上がりのとき, 場合の数は (n-1) 段目まで の上がり方の総数と等しく 通り [2] 最後が2段上がりのとき, 場合の数は(n-2) 段目まで の上がり方の総数と等しく 1=2 通り [1] 最後に1段上がる [2] 最後に2段上がる n (n-1)段 ここまでαn- 通り (n-2) (n-1)段 ここまで よって an=an-1+an-2 (n≧3) ...... (*) 和の この漸化式は,an+2=an+1+an (n≧1) … ①と同値である。 x2=x+1の2つの解をα,β(α<β) とすると, 解と係数の 関係から比較 α+β=1, aβ=-1 ①から an+2-(a+β)an+1+aBan=0 よって X an+2-dan+1=β(an+1-aan), az-aa=2-a an+2-βan+1=α(an+1-Ban), a2-βa=2-β ...... a ... * 特性 ②から ③から an+1-dan=(2-α)βn-1 an+1-ßan=(2-β)α7-1 ...... (4) (5) ④ ⑤ から (β-α)an=(2-α)β"-1-(2-β)an-1 ...... (6) 1-√5 a= 2, B= 1+√√5 であるから β-α=√5 よって、⑥から an= √5 また, α+β=1, a2=α+1, β2=β+1 であるから 2-α=2 (1-B)=B+1=8° 同様にして ((1+√5)-(1-√5)) 2-β=α2 1+√5)* -(1-√5)**) 次の条件 練習 ④ 43 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 a=a2=1, an+2=an+1+3an an a Ad

解と係数の関係の問題です。緑の線が引いてあるところまではわかるのですがその後にx=○(数字)をなぜ代入しているのかが分からないので解説お願いします。

例題 12 2次方程式 (x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0 の2つ の解をα,β とするとき, 次の式の値を求めよ。 (1)(2-α) (2-β) (2) aβ 等式 ax2+bx+c=a(x-a)(x-β) の両辺に x=p を代入すると, (ｶーα)(カーB) の値が求められる。 x2 の係数を忘れないように注意する。 指針 解答 この2次方程式のx2の係数は3であるから, 次の等式が成り立つ。 (x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=3(x-a)(x-B) ① (1) ①の両辺に x=2 を代入すると (2-3)(2-1)=3(2-α) (2-β) よって (2-a) (2-B)=-11 (2) ①の両辺に x=0 を代入すると (−1)(-2)+(-2)(-3)+(-3)(−1)=3(-a) (-β) 11 よって 11=3aß ゆえに aβ= 3

ここの問題のtが出てくるところから，何故急にtが出てくるのかが分かりません，教えてください

重要 例 (x+y, xy) の動く領域 20 0000 実数x,yx2+y2≦1 を満たしながら変わるとき, 点(x+y, xy) の動く領域 | を図示せよ。 指針 x+y=X, xy=Yとおいて, X, Yの関係式を導けばよい。 ①条件式x2+y≦1 を X,Yで表す。 →x2+y2=(x+y)²-2xy を使うと しかし、これだけでは誤り! DET X2-2Y≦1 ② x, y が実数として保証されるような X, Yの条件を求める → x, 重要 129 x, yは2次方程式2-(x+y)t+xy=0 すなわち 2-Xt+Y=0 の2つの解で あるから,その実数条件として 判別式 D=X2-4Y0 ① 実数条件に注意 X=x+y, Y =xy とおく。 解答 x+y=1から (x+y)²-2xy≦1 すなわち X2-2Y≦1 X2 したがって Y≥ ...... ① ると ここで また,x,yは2次方程式2-(x+y)t+xy=0 すなわち2数α,Bに対して -Xt+Y=0の2つの実数解であるから, 判別式をDとす D≧0 D=(-X)-4・1・Y=X2-4Y p=α+B,g=aβ とすると,α,Bを 解とする2次方程 よって,X2-4Y0からでき 式の1つは x-px+g=0 ya 1 4 y= 2 2 2 AST X2 1 日本 ①②から 2 4 y= 24 検討 変数を x, yにおき換えて 11/2² - 1/1 Sy ≤ 11214 - 2 4 したがって、求める領域は、右の図の 斜線部分。ただし、境界線を含む。 実数条件(上の指針の)が必要な理由 -√2 1-2 12 0 √2 x x2 2 1/2とす 4 x+y=X, xy=Yが実数であったとしても, それが x2 +y'≦1 を満たす虚数x,yに対応し 1/12/+/12/i.y=1/2-2/21のときx+y=1 (実 たX, Yの値という可能性がある。 例えば, x=- 数), xy= 2, (実数) で, x2+y'≦1 を満たすがx, yは虚数である。 このような(x, y) を 除外するために 実数条件を考えているのである。

なぜ共有する解や一つの解がそれと特定できるのですか？ 例えば、1+iと-2が2つの解になったりはしないんですか

121 324 2つの方程式 x3+6x+20=0,x2-2x+α= 0 が次の条件を満たすように、定数αの値を定め (1) 2つの解を共有する。 A-676-2 49 8=0.03 180(火 (2) ただ1つの解を共有する。