基礎問
144 第6章 微分法と積分法
90 関数決定 (ⅡI)
関数f(x)=x^3+ax2+bx+c は, x=2で極小値0をとり,
x=1 における接線の傾きは3である. このとき, a,b,cの値
と,極大値を求めよ.
精講
「x=2で極小値→f'(2)=0」 は正しいのですが,
「f'(2)=0→x=2で極小値｣は正しくありません. ですから,
a, b, c を求めたあと吟味が必要になります.
解答
f(x)=x+ax+bx+c より f'(x)=3x2+2ax+b
x=2で極小値0をとるので, f'(2) = 0, f(2)=0
また, x=1 における接線の傾きは-3だから, f'(1)=-3
12+4a+b=0
・①
8+4a+2b+c=0
Sar
16+2a+b=0
①,③より, a=-3,6=0
②に代入して,c=4
このとき, f(x)=x-3x2+4
ポイント
8
IC
f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)
よって, 増減は表のようになり、
このf(x) は適する.
|吟味
また,このとき, 極大値 4 (x=0のとき)
...
f'(x) +
f(x) >
連立方程式を作る
0
0
4
-
7
2
0
0
+:
7
「x=αで極値｣という条件を「f'(a) =0」 として使う
ときは吟味が必要
