垂心の位置ベクトル
基本例題 25
平面上に△OAB があり, OA=5,OB=6, AB = 7 とする。 また, △OABの垂
00000
心をHとする。
(1) COS ∠AOB を求めよ。
(2) OA=a, OB=6 とするとき, OH を a, を用いて表せ。
P-400 基本事項 [5]
△OABの垂心に対して、OA⊥BH, OBIAH, ABIOH
指針 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり、
が成り立つ。
そこで, OA⊥BHといった図形の条件をベクトルの条件に
直して解く。 (2) では OH=sa+tとし, OA･BH=0.
OB-AH=0の2つの条件から,s,tの値を求める。
(1) 余弦定理から COS ∠AOB=
(2) (1) から
46=||||cos∠AOB=5・6・1/3=6
AOAB は直角三角形でないから,垂心Hは2点A,Bと
一致することはない。
Hは垂心であるから
OH = sa+t6 (s, t は実数) とする。
OA⊥BH より OA･BH0 である
から
a.
a {sa+(t-1)}=0
slaf+(t-1)a-6=0
よって
ゆえに
25s+6(t-1)=0
したがって
すなわち 25s +6t=6
①
また, OBIAH より OB･AH = 0 であるから
OA⊥BH, OB⊥AH
{(s-1)a+t6}=0
(S-1)ā.b+t|b²=0
S=
5
24'
OH =
･･・・・･･・･・･･・・･･・・･
5
24
5³ +6²-72 12
2･5･6
=
60
よって
ゆえに 6(s-1)+36t=0 すなわち s+6t=1 ...
①②から
t=
19
144
a+
A
19 b
144
0
*******
-
1
5
6
A
B
重要 28,
[参考] [AB=16-
=151-25-a+laf
| |AB|=7,al=5, ||=6で
あるから 7-6-26・a +5²
よって.6=6
① 垂直 (内積) = 0
<BH-OH-OB
|a| =5, a-6=6
421
a-6-6, 161-6
B
①垂直→ (内積) = 0
◄AH-OH-OA
< ① ② から
24s=5
1章
4
位置ベクトル
