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重要 例題 87 2変数関数の最大 最小 (2)
(1) x,yの関数 P=x2+3y²+4x-6y+2の最小値を求めよ。
(2) x,yの関数Q=x²-2xy+2y²-2y+4x+6 の最小値を求めよ。
(1), (2) , 最小値をとるときのx,yの値も示せ。
解答
(1) P=x2+4x+3y²-6y+2
指針 (1) 特に条件が示されていないから, x, y は互いに関係なく値をとる変数である。
このようなときは,次のように考えるとよい。
の文
① x,yのうち
2次式とみる。 そして,Pを基本形α(xp)+αに変形。
② 残ったg(yの2次式)も、基本形 b(y-r)" +s に変形。
3③ P=ax2+ by'+s (a> 0, b>0, s は定数) の形。
=(x+2)²-22+3y²-6y+2
=(x+2)^+3(y-1)²-3・12−2
= (x+2)²+3(y-1)²-5
→Pは X=Y=0のとき最小値 sをとる。
(2) xy の項があるが,方針は (1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}'+d(y-r2s の形に変形。
CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理
x, y は実数であるから
(x+2)^≧0, (y-1)≧0
よって,Pはx+2=0, y-1=0のとき最小となる。
ゆえに x=-2, y=1のとき最小値-5
(2) Q=x2-2xy+2y²-2y+4x+6
=x2-2(y-2)x+2y²-2y+6
={x-(y-2)}^-(y-2)^+2y²-2y+6
=(x-y+2)^+y^+2y+2
=(x-y+2)+(y+1)^-12+2
=(x-y+2)^+(y+1)^+1
[(1) 類豊橋技科大, (2) 類 摂南大]
x, y は実数であるから
ここではyとする) を定数と考えて,Pをまずxの
(x-y+2)^2≧0, (y+1)^≧0
よって,Qx-y+2=0, y+1=0のとき最小となる。
x-y+2=0, y+1=0を解くと
ゆえに
00000
練習
④ 87 (2) x,yの関数 10²
基本7
x=-3, y=-1のとき最小値18耐大
N
まず, xについて基本形に。
次に, y について基本形に。
<P=aX2+bY2+sの形。
(実数) 0
<x+2=0, y-1=0 を解く
と
x=-2, y=1
x2+x+の形に。
まず, xについて基本形に。
次に, yについて基本形に。
x=-3, y=-1 最小値をとるx,yの値は
連立方程式の解。
◄Q=aX²+by² +soft.
(実数) 20
(1) x,yの関数 P=2x²+y²-4x+10y-2の最小値を求めよ。
7
