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基本例
85 2次関数の係数決定 [最大値・最小値] (1)
0000
(1) 関数y=-2x2+8x+k (1≦x≦4) の最大値が4であるように,定数kの値
を定めよ。また,このとき最小値を求めよ。
(2) 関数 y=x2-2ax+a2a (0≦x≦2) の最小値が11になるような正の定数
α の値を求めよ。
基本 80 82 重要86
指針 関数を基本形y=a(x-p)'+αに直し, グラフをもとに最大値や最小値を求め
(1) (最大値) =4 (2) (最小値)=11 とおいた方程式を解く。
(2)では,軸x=a(a>0) が区間 0≦x≦2の内か外かで場合分けして考える。
CHART 2次関数の最大・最小 グラフの頂点と端をチェック
5
■区間の中央の値は 22 で
あるから, 軸x=2は区
間 1≦x≦4で中央より
左にある。
解答
(1) y=-2x2+8x+k を変形すると
y=-2(x-2)^+k+8
y
k+8-5
よって, 1≦x≦4においては,
右の図から, x=2で最大値k+8
012
をとる。
ゆえに
k+8=4
最小
最大値を4とおいて,
よって k=-4
kの方程式を解く。
このとき, x=4で最小値-4をとる。
[1] y
軸
(2) y=x2-2ax+α2-2a を変形すると
y=(x-a)²-2a
[1] 0<a≦2 のとき, x=αで
最小値 -2αをとる。
11
a
2a=11 とすると α=-
2
0
2
これは0<a≦2を満たさない。
[2] 2 <αのとき,x=2で
-2a
最小
x
AX
< 「αは正」に注意。
<0<a≦2のとき,
軸 x=αは区間の内。
→頂点x=αで最小。
の確認を忘れずに。
最小値 22-2α・2+α2-2a,
つまりα-6a+4をとる。
α2-6a+4=11とすると
a2-6a-7=0
2<αのとき,
軸x=aは区間の右外。
[2] YA
a
a²-6a+4
→区間の右端 x=2で最
最小
a
(a+1) (a-7)=0
これを解くと a=-1,7
02
x
2 <a を満たすものは
a=7
の確認を忘れずに。
以上から、 求めるαの値は α=7
-2a
習 (1)2次関数 y=x-x+k+1の-1≦x≦1における最大値が6であるとき、定数
35
kの値を求めよ。
(2) 関数y=-x2+2ax-a-2a-1 (-1≦x≦0) の最大値が0になるような定数
a の値を求めよ。
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