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例題 26 無限等比級数 (1) 周期性のある数列
2n
3
an
an=sin n(n=1,2,…………)とするとき,無限級数の和10"
めよ.
を求
考え方に 1, 2, 3, ……… と具体的な値を入れて, α の規則性を考えればよい.
n
1
2
3
4
5
6
y
n=1,4,...
203
2n
-π
2-3
3π
4-3
2π
8-3
T
103
π
4π
23
3π
|n=3,6,...
2n
3
3
√3
sin-
0
√
3
0
10
x
3
2
2
2
2
2n √3
n=2,5,...
n=1, 4,
....... 3m-2 のとき,
wwwww
sin π=
3
2
2n
3
n=2, 5, 3m-1 のとき,
sin π=-
wwwww
3
2
2n
n = 3, 6, ..... 3m のとき,
sin
0 は自然数) となって
3
解答
mを自然数とすると,
2n √3
sin π=
(n=3m-2),
3
(n=3m-1),0 (n=3m)
2
2
となり、数列{
an (n≧1) は,
√3
√3
√3
√3
0,
0.
10"
2.10'
2・102'
2・10''
2・105'
√3
1
(3-2) 番目の項だけを考えると, 初項
wwwww
2-10'
公比 の等比数列となり,
103
(3-1) 番目の項だけを考えると,初項
√3
wwwww
2･102･
1
公比 の等比数列となる.
103
したがって, 初項から第n項までの部分和を S とすると, n=3m のとき,
S3m=
kil2.10
10 [3
2.102 103
3
√3
となり
1
103
2-10
2・102
5√3
より,
limS3m=
→
1
1
111
1-
1
103
103
また, S3m+1=S3m+
S3m+2=S3+
210103
2.30 (10)". S2-Sam + 2.30 (11)-23 (10)
03
m
√3
5√3
①,②より,
limS3m+1= limS3m+2=
an
5√3
より,
111
n=1 10
111
