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例題 66
文字係数の2次不等式
2次方程式と2次不等式
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αを定数とするとき,次の2次不等式を解け.
(1)x2-(a+4)x+4a < 0
(2) ax²-3ax +2a>0 (a≠0)
-1)x-
考え方(1) 2次不等式を解くには,グラフとx軸の共有点が重要である。2次関数のグラフ
をかいたときの,x軸との共有点のx座標の大小で場合分けをする.
(2)ax²-3ax+2a=a(x-1)(x-2) となるので,a>0, a<0 で場合分けをする.
解答 (1) x2-(a+4)x+4a<0より, (x-a)(x-4)< 0
左辺を因数分解する.
y=x2-(a+4)x+4a ....... ① とすると,①のグラ
フとx軸との共有点のx座標は,
x=α, 4
(i) α >4 のとき
①のグラフは,右の図より,
求める解は, 4 <x<a
=4 のとき
①のグラフは, 右の図より,
求める解はない
(ii) α <4のとき
①のグラフは,右下の図より,
求める解は, a<x<4
+
4
a
x
共有点のx座標の大
小で場合分けする.
(i) αが4より大きい
(右側)
(i) α と 4が等しい
() αが4より小さい
(左側)
a=4x+x-50
(i)~(Ⅲ)より,
a>4 のとき, 4 <x<a
a=4 のとき,解はない
9
(2) ax²-3ax+2a>0
02 (8-)a(x²-3x+2)>0,
y=ax²-3ax+2a
a<4 のとき,a<x<4
a
UTASONS
41x
左辺を因数分解する.
a(x-1)(x-2)>0
①
とx軸との共有点のx座標は,
・② とすると,②のグラフ
x=1,2
056+%
(i) a>0 のとき
② のグラフは下に凸より, (i)
(ii)
①の解は,
x<1,2<x
a<0 のとき
②のグラフは上に凸より,
①の解は, 1 <x<2
/2x
x
a<0 のとき, 1<x<2の
(i), (i)より,.
a>0 のとき,x<1,2<x
Focus
2次不等式という条
件から a=0 となる
ので,とくに示され
ていなくても注意す
る. でくくる。
αの符号によって
上に凸か下に凸かが
変わるので注意する.
