基本例題 98 複利計算と等比数列
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毎年度初めにP円ずつ積み立てると, n年度末には元利合計はいくらになるか。
年利率をr, 1年ごとの複利で計算せよ。 ただし, r>0とする。
基本 96
指針▷ 「1年ごとの複利で計算する」 とは、1年ごとに利息を元金に繰り入れて利息を計算するこ
とをいう。 各年度初めに積み立てるP円について, それぞれ別々に元利合計を計算し、 最
後に合計を求めることにする。
1年度末
2 年度末
(2) 年度末(n-1) 年度末 1 年度末
1
-P円積立
・P円積立
t
図から, n 年度末までの合計は
P(1+r)" + P(1+r)"
******.
・P円積立
等比数列の和
3年度末
解答
毎年度初めの元金は、1年ごとに利息がついて (1+r) 倍となる。
よって, n 年度末には,
1年度初めのP円は P(1+r)"円,
2年度初めのP円は P(1+r)"1円,
したがって 求める元利合計 S は
+ P(1+r)+P(1+r)円
n年度初めのP円は P(1+r) 円 になる。
P(1+r){(1+r)^-1}
(1+r) -1
Sn=P(1+r)"+P(1+r)"'+......+ P(1+r)
P(1+r){(1+r)"-1}
r
・P円積立
(円)
P(1+r)* 円
P(1+r) 1円
P(1+r) *2 円
P(1+y)2 円
P(1+r) 円
円積立
右端を初項と考えると, S
は初P(1+r), 公比1+y,
項数nの等比数列の和であ
る。